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“数学与应用数学”专业课程教学大纲

发布时间:2018-06-13文章来源: 浏览次数:

数学科学学院

“数学与应用数学”专业课程教学大纲

培养方案修订负责人:陆书环     教学大纲统稿人:王利广

解析几何教学大纲

教研室主任:王培合           执笔人:王培合

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:解析几何

课程编号06100111

英文名称Analytic Geometry

课程类型学科基础课

总 学 时68        理论学时:68   实验学时:0   课外学时:0

   分:4

开设专业:数学与应用数学

先修课程:无

二、课程任务目标

(一)课程任务

《解析几何》作为大学数学的主要基础课程之一,是高等数学的主要组成部分。它对数学专业的学员后继课程的学习有重要而深刻的影响,它所提供的数学思想也是其它课程所无法替代的。

《解析几何》的基本思想是用代数的方法来研究几何。代数为几何提供研究方法,几何为代数提供直观背景。坐标法架起了几何与代数之间的桥梁。单纯的坐标是没有意义的,几何量的存在是要经得住合理的坐标变换的,因此选取好的坐标使几何量、几何关系的研究简单化是《解析几何》课程的主要任务之一。另外对空间关系的良好的理解力和想象力可以使复杂的数学结构变的直观简单,培养良好的空间想象能力也是本课程重要的教学目标之一。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.掌握三维欧氏空间的各种运算;

2.能够用坐标方法建立几何和代数之间的联系,能运用坐标向量等工具解决几何问题;

3.掌握点、线、面的方程形式以及它们之间的位置关系的方程描述,能解决有关点、线、面的实际问题;

4.对于空间中特殊的二次曲面的方程能够掌握方程和曲面之间的内在联系,能够用平行截割法研究曲面的形状,掌握常见的直纹面及其性质;

5.掌握二次曲线的化简和分类。

三、教学内容和要求

第一章  矢量与坐标

第一节  矢量的概念

1.  理解矢量的有关概念,掌握矢量间的关系;

2 理解矢量的定义和两要素。

第二节  矢量的加法及其运算法则;

1.         理解矢量加法的定义及其运算法则;

2.         了解矢量加法的运算法则的证明过程;

3.         初步掌握矢量法证明问题的思想。

第三节       数量乘矢量及其运算法则

1.  理解矢量数乘运算的定义及其运算法则;

2.  掌握矢量加法的运算法则的证明过程;

3.  掌握利用矢量证明问题的思想及其解决问题的办法。

第四节  矢量的线性关系与矢量的分解

1.  掌握矢量之间的线性关系,理解共线、共面矢量的线性表示;掌握空间矢量的线性表示;

2.  理解线性相关的概念及其初步了解线性无关的概念;

3.  掌握线性相关和共线、共面的联系,掌握空间向量的结构;

第五节  标架与坐标

1.  理解标架的定义及其定比分点的定义;

2.  掌握点的坐标和矢量的坐标表示;

3.  理解坐标系的概念及其相关定义;

4.  掌握在坐标系之下矢量的各种运算的表示,能够用坐标法建立几何和代数之间的关系。

第六节  矢量在轴上的投射影

1.  了解轴的概念和点及其矢量在轴上射影的作图法,射影和射影矢量的关系,有向角的概念;

2.  掌握投影的计算及其运算性质。

第七节  两矢量的数性积

1.  了解数性积的物理背景;

2.  掌握数性积的定义及其运算性质;

3.  掌握数性积的坐标运算;

4.  了解平面向量的有向角表示。

第八节  两矢量的矢性积

1.  了解矢性积的物理背景及其几何意义;

2.  掌握矢性积的定义及其运算性质,理解矢性积运算的反交换律;

3.  掌握矢性积的坐标运算。

第九节  三矢量的混合积

1.  掌握矢量的混合积概念及几何意义;

2.  掌握混合积的运算性质及其坐标表示;

3.  掌握利用顶点坐标计算四面体的体积;

4.  掌握向量法及其坐标法解决问题的思想。

本章的重点是矢量的两个要素:模与方向;矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念;矢量的三个分解定理及线性相关的判断;标架概念及其点和矢量的坐标表示方法;矢量在轴上的射影与射影矢量的概念;两矢量的数性积概念及几何意义;两矢量矢性积概念及几何意义;三矢量混合积概念及几何意义。

本章的难点包括运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系;分解定理的证明;射影与射影矢量的关系;根据数性积理论证明有关的命题;矢性积的几何意义;混合积的几何意义。

第二章  轨迹与方程

第一节  平面曲线的方程

1.  理解轨迹方程的概念和意义;

2.  了解平面曲线的轨迹方程的几种形式;

3.  掌握几种特殊曲线的方程。

第二节  曲面的方程

1.  理解曲面方程的定义;

2.  掌握曲面方程的几种形式。

第三节  母线平行于坐标轴的柱面方程

1.  了解母线平行于坐标轴的柱面方程的特点。

第四节  空间曲线的方程

1.  掌握空间曲线的方程;

2.  了解空间曲线的方程表示及其向量和坐标表示。

本章的重点是曲面和空间曲线的方程求法;母线平行于坐标轴的柱面方程的特征。

本章难点是根据给定图形的条件,选择适当坐标系建立图形的方程。

第三章  平面与空间直线

第一节  平面的方程

1.  理解平面论基本定理;

2.  掌握平面的各种方程(参数式、点位式、三点式、截距式、一般式、点法式及法式);

3.  掌握平面的各种方程之间的的互化。

第二节  平面与点的相关位置

1.  理解点和平面的位置关系的坐标表示;

2.  掌握点关于平面的离差及其计算,掌握点到平面的距离计算公式;

3.  了解平面对空间的划分。

第三节  两平面位置的位置关系

1.  理解并掌握两平面的位置关系的方程表示;

2.  了解两平面的夹角和距离。

第四节  空间直线的方程

1.  理解直线的方向角、方向余弦、方向数概念及求法;

2.  掌握直线的点向式方程(参数式、对称式、两点式)和一般方程;

3.  掌握直线的标准方程与一般方程转化方法。

第五节  直线与平面的相关位置

1.  理解直线与平面的位置关系及判别方法;

2.  掌握直线与平面的交角和距离的求法。

第六节  空间两直线的相关位置

1.  理解空间两直线的位置关系及判别方法;

2.  掌握空间两直线的交角和异面直线间的距离与公垂线方程的求法;

第七节  空间直线与点的相关位置

1.  理解点和直线的位置关系;

2.  掌握点到直线的距离计算。

第八节  平面束

1.  掌握有轴平面束和平行平面束的概念;

2.  掌握两种平面束的方程,掌握利用平面束计算问题的技巧;

3.  掌握直线一般方程之下共面的充要条件。

本章的重点包括平面的点位式、一般式和法式方程及其转化方法;点与平面的离差和两平面的位置关系;直线的标准方程与一般方程;直线与平面的位置关系;空间两直线的位置关系及判别方法;平面束的概念及平面束方程的求法。

本章的难点是平面各种方程之间的互化;点与平面的离差;标准方程与一般方程的转化方法;直线与平面的交角;异面直线间的距离与公垂线方程;空间直线与点的距离公式;空间直线与点的距离公式。

第四章  柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第一节  柱面

1.  了解柱面的定义;

2.  掌握柱面的方程建立步骤。

第二节  锥面

1.  了解锥面的定义;

2.  掌握锥面的方程建立步骤;

3.  理解锥面的方程的特点。

第三节  旋转曲面

1.  了解旋转曲面的定义;

2.  掌握旋转曲面的方程建立步骤;

3.  掌握坐标平面上曲线绕坐标轴旋转得到的方程特点及其形状。

第四节  椭球面

1.  了解椭球面的标准方程;

2.  掌握讨论椭球面性质的方法及步骤;

3.  了解椭球面图形。

第五节  双曲面

1.  了解两种双曲面的标准方程;

2.  掌握讨论双曲面性质的方法及步骤;

3.  了解双曲面的图形。

第六节  抛物面

1.  了解椭圆抛物面和双曲抛物面的标准方程;

2.  掌握椭圆抛物面和双曲抛物面的性质;

3.  掌握椭圆抛物面和双曲抛物面的图形。

第七节  单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

1.  理解直纹曲面的概念;

2.  掌握单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程求法;

3.  了解单叶双曲面和双曲抛物面的直母线性质。

本章的重点是柱面方程、锥面方程、旋转曲面方程的求法;椭球面的标准方程及性质;单叶双曲面和双叶双曲面的标准方程及性质;直纹曲面的概念。

本章的难点包括柱面、圆锥面的方程;单叶双曲面和双叶双曲面图形的画法;单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程求法。

第五章 二次曲线的一般理论

第一节  二次曲线和直线的位置关系

1.  掌握二次曲线的方程;

2.  理解二次曲线的各种记号及其不变量;

3.  掌握二次曲线和直线的位置关系,

第二节  二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

1.  理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的概念及其几何性质;

2.  掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法;

3.  掌握二次曲线的分类。

第三节  二次曲线的切线

1.  理解二次曲线的切线的定义及其分类;

2.  掌握二次曲线的切线的求法。

第四节  二次曲线的直径

1.  理解二次曲线的直径的定义;

2.  掌握二次曲线的直径的求法;

3.  掌握中心、线心和无心二次曲线的直径的特点;

4.  理解共轭方向和共轭直径及其求法。  

第五节  二次曲线的主直径与主方向

1.  理解二次曲线的主直径的定义;

2.  掌握二次曲线的切线的求法;

3.  掌握二次曲线的特征方向和特征根的性质。

第六节  二次曲线的化简与分类

1.  掌握平面直角坐标系的坐标变换;

2.  掌握在平移和旋转之下二次曲线各自的不变量;

3.  掌握二次曲线的两种化简方法及其分类;

4.  理解一般二次曲线的作图。

第七节  应用不变量化简二次曲线的方程

1.  理解二次曲线的不变量和半不变量;

2.  掌握利用不变量化简和分类二次曲线。                  

本章的重点是二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主直径和主方向等基本概念和求法以及二次曲线的化简和分类。

本章的难点是二次曲线的化简和分类。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章 矢量与坐标

16

14

2

第二章 轨迹与方程

4

3

1

第三章 平面与空间直线

18

14

4

第四章 柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面

14

12

2

第五章 二次曲线的一般理论

16

12

4

   

68

55

13

五、考核说明

本课程采用闭卷考试,成绩评定采用百分制,计算方法为期末总评成绩=期末考试成绩*70%+期中考试成绩*20%+平时成绩,其中平时成绩采取10分制,包括课堂表现和作业成绩。期末总评成绩不低于60分为及格。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.  吕林根等     《解析几何》            高等教育出版社         1987

   (二)主要参考书目

1.  陈志杰     《高等代数与解析几何》   高等教育出版社         2000

2.  朱鼎勋等   《解析几何学》            北京师范大学出版社       1984

数学分析教学大纲

教研室主任:张克梅        执笔人:孙钦福

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:数学分析

课程编号06100231

英文名称Mathematical Analysis

课程类型学科基础课

总 学 时289        理论学时:   实验学时:   课外学时:

   分:17

开设专业:数学与应用数学

先修课程:无

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是数学系的一门重要基础课,其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元与多元微积分、级数论、广义积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程(如《微分方程》、《实变函数》、《复变函数》、《概率论与数理统计》及有关的《泛函分析》、《微分几何》等限选课程及《普通物理》等)提供一些所需的基础理论和知识,另一方面还对提高学生思维能力,开发学生智能加强“三基”(基础知识、基本理论、基本技能)及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。

(二)课程目标

通过本课程教学的主要环节(讲授与讨论、习题课、作业、辅导等),使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解,从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

第一章  实数集与函数

1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解确界概念,并会证明确界原理。

第二章  数列极限

1.理解数列极限的概念,并会应用“”语言证明数列极限。

2.掌握收敛数列的性质,并会利用收敛数列的性质证明数列的有关问题。

3.掌握数列极限存在的条件,并会应用单调有界定理证明数列极限存在,会应用柯西收敛准则证明数列收敛与发散。

4.掌握数列极限的否定定义,并会应用。

第三章  函数极限

1.理解函数极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系,并会应用定义证明函数在各种极限过程下的极限。

2.掌握各种情形下函数极限的否定定义,并会用否定定义证明问题。

3.掌握函数极限的性质及四则运算法则,并会证明。

4.掌握函数极限存在的两个准则(归结原则与柯西准则),并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。

5.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。

第四章  函数的连续性

1.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。

2.掌握连续函数的性质和初等函数的连续性,会证明闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、反函数的连续性定理、一致连续性定理),并会应用这些性质。

第五章  导数与微分

1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。理解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。

3、理解高阶导数与高阶微分的概念,会求简单函数的阶导数与阶微分。

4、会求分段函数的一阶、二阶导数。

5、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。

第六章  微分中值定理及其应用

1.理解并会用洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理,并会应用它们证明问题。

2.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。

4.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

第七章  实数的完备性

1.掌握实数完备性的基本定理的证明,并会证明它们的等价性。

2.掌握闭区间上连续函数性质的证明,并会应用它们解决其他问题。

3.理解上极限和下极限的概念及性质,并会求数列的上下极限。

第八章 不定积分

1.理解原函数概念,理解不定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法与分部积分法。

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

第九章 定积分

1.理解定积分的概念。

2.掌握牛顿莱布尼兹公式,会用定积分求数列的极限。

3.掌握定积分存在的必要条件和充要条件,并会应用它们证明一些分析问题。

4.掌握定积分的性质并会灵活运用。

5.理解变上限定积分定义的函数,会求它的导数,掌握微积分基本定理,并会证明。

6.理解积分第二中值定理,并会应用。

7.掌握换元积分法与分部积分法。

8.了解大和与小和的概念

第十章  定积分的应用

1.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。

2.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。

3.了解定积分在物理上的某些应用(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。

第十一章  反常积分

1.了解两类反常积分的概念并会计算两类反常积分。

2.会用定义判断反常积分的收敛与发散。

3.掌握无穷积分与暇积分的性质以及收敛性判别方法(比较判别法,柯西判别法,狄里克莱判

别法与阿贝尔判别法)。

4.掌握无穷积分的绝对收敛与条件收敛的概念。

第十二章  数项级数

1.理解数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性判别法(比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法)。

4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

5.理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛级数与收敛级数的关系,理解绝对收敛级数的性质。

6.掌握一般项级数的阿贝尔判别法与狄里克莱判别法。

第十三章  函数列与函数项级数

1.熟练掌握函数列与函数项级数的一致收敛与非一致收敛的定义,并会证明函数列与函数项级数的一致收敛与非一致收敛。

2.掌握判别函数列与函数项级数的一致收敛与非一致收敛的方法。

3.掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质(连续性、可积性、可微性),并会熟练这些定理的证明以及应用。

第十四章  幂级数

1.理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

2.理解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。

3.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

4.掌握的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

5.了解复变量的指数函数及欧拉公式。

第十五章  傅里叶级数

1.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的收敛定理。

2.会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数与

余弦级数,会写出傅里叶级数的和的表达式。

3.了解傅里叶级数收敛定理的证明。

第十六章  多元函数的极限与连续

1.理解平面点集的一些基本概念,了解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。

2.掌握上的完备性定理,并会应用。

3.理解二元函数极限的概念,并会应用定义证明二元函数的极限。

4.掌握重极限与累次极限之间的关系。

5.理解二元函数连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质,并会证明与应用。

第十七章  多元函数微分学

1.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求偏导数与全微分,理解可微的必要条件与充分条

件存在的必要条件和充分条件,了解偏导数与全微分的几何意义。

2.掌握多元复合函数偏导数与全微分的求法,理解一阶全微分形式的不变性。

3.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

4.掌握高阶偏导数的求法,混合偏导数与求导顺序无关定理。

5.了解二元函数的中值定理与泰勒公式。

6.理解多元函数极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,二元函数极值存在的充分条

件,会求二元函数的极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。

第十八章  隐函数定理及其应用

1.了解隐函数的概念,掌握隐函数存在唯一性定理与隐函数可微性定理,会求隐函数的偏导数

及高阶偏导数。

2.了解隐函数组的概念,掌握隐函数组存在唯一性定理与可微性定理,会求隐函数组确定的隐

函数的偏导数及高阶偏导数。

3.了解反函数组定理。

4.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。

5.理解多元函数条件极值的概念,掌握用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最

大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。

第十九章  含参量积分

1.理解含参量正常积分的概念,掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性。

2.掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法,掌握含参量反常积分的分析性质,并会应用

这些性质计算含参量积分。

3.掌握函数与函数的定义以及它们之间的关系,并会应用函数与函数计算一些积分。

第二十章  曲线积分

1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

第二十一章  重积分

1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。

4.了解二重积分的变量变换公式。

5.会求曲面的面积,物体的重心、转动惯量。

6.了解重积分的概念,会计算反常二重积分,了解在一般条件下重积分变量变换公式的证明。

第二十二章  曲面积分

1.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

2.了解散度与旋度的概念,并会计算。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章    实数集与函数

10

8

2

第二章    数列极限

16

12

4

第三章    函数极限

16

12

4

第四章    函数的连续性

18

12

6

第五章    导数与微分

14

10

4

第六章    微分中值定理及其应用

18

12

6

第七章    实数的完备性

10

6

4

第八章    不定积分

12

8

4

第九章    定积分

22

16

6

第十章    定积分的应用

10

8

2

第十一章  反常积分

12

8

4

第十二章  数项级数

12

8

4

第十三章  函数列与函数项级数

14

10

4

第十四章  幂级数

10

8

2

第十五章  傅里叶级数

10

8

2

第十六章  多元函数的极限与连续

10

8

2

第十七章  多元函数微分学

14

10

4

第十八章  隐函数定理及其应用

10

8

2

第十九章  含参量积分

14

10

4

第二十章  曲线积分

8

6

2

第二一章  重积分

16

12

4

第二二章  曲面积分

13

9

4

第二三章  流形上微积分学初阶

0

0

0

合计

289

209

80











五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合;期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+其中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.华东师范大学数学系编 《数学分析》,高等教育出版社,2001年。

   (二)主要参考书目

1.陈传章等,《数学分析》,高等教育出版社,复旦83年版。

2.刘一鸣、周家云、解际太,《数学分析》,山东大学出版社,93年版。

3.刘立山、孙钦福,《数学分析的基本理论与典型方法》,中国科学技术出版社,05年版。

高等代数”教学大纲

教研室主任:王培合           执笔人:彭桢

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:高等代数

课程编号 06100321

英文名称Advanced Algebra

课程类型学科基础课

总 学 时  187      理论学时:187   实验学时:0   课外学时:0

   分:  11

开设专业:数学与应用数学

先修课程:无

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是一门数学专业本科生重要的基础课,是数学专业本专科生学习其他后继科目的基础。其主要任务是传授给学生代数思想方法及多项式和线性代数的基本知识。《高等代数》为学生进一步学习与研究代数,几何及其它方向提供了基础知识,基本技能,基本理论并充分展示了代数学的思维特点。通过本课程的学习,应使学生掌握多项式特别是线性代数的基本概念、性质及一些经典结论,最重要的是,使学生能够灵活运用代数学思维方法和技巧。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.正确理解和掌握数域、多项式的相关的概念,掌握多项式运算。

2.利用带余除法,辗转相除法求两多项式的商和余式以及最大公因式。

3.应用余数定理求值,并进行实、复系数多项式的因式分解。

4.判断有理系数多项式是否为本原多项式,不可约多项式并进行适当的因式分解。

5.了解多元多项式的有关概念性质和对称多项式基本定理。

6.灵活利用各种方法对行列式进行简化并计算。

7.利用克兰姆(Cramer)法则求解线性方程组,并认识拉普拉斯(Laplace)定理和行列式的乘法规则。

8.掌握线性方程组的高斯消元法。

9.求任意n维向量组的线性相关(无关)性,求向量组的极大线性无关组并用极大线性无关组线性表出其他向量。

10.求矩阵的秩,并能应用矩阵的秩。

11.判定(齐次)线性方程组是否有(非零)解,描述线性方程组解的结构,并能熟练求解线性方程组。

12.了解求解二元高次方程组的一般方法。

13.计算矩阵的和、差、乘积、数量乘积、转置、方幂、可逆矩阵的逆、矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩。

14.求任意方阵的伴随矩阵,并研究伴随矩阵与原矩阵的关系。

15.利用初等矩阵的性质、矩阵的初等变换、可逆矩阵的分解以及分块矩阵的运算、初等变换研究矩阵的性质。

16.了解广义逆矩阵的性质求解矩阵方程。

17.通过非退化的线性替换把二次型[对称矩阵]化简为标准形[对角矩阵]

18.掌握复、实系数二次型的规范形的唯一性及理论推导,理解并能熟练应用(半)正定二次型[矩阵]的定义、性质及判定,总结出矩阵的合同不变性质。

19.熟练应用非退化线性替换及矩阵的合同变换化简二次型、对称矩阵成标准形或规范形,应用二次型[对称矩阵]的有关理论于某些等式或不等式的证明。

20.计算线性空间的维数和基,通过不同基之间的变换求向量的坐标。

21.通过现行变换和矩阵的关系,利用矩阵简化线性变换。

22.求矩阵的特征值和特征向量,并利用特征向量化矩阵为若而当标准形。

23.通过内积的定义区别欧式空间和线性空间,并掌握正交变换和正交阵的关系。

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

(本项编写要求:以基本内容为主线,对各知识点分按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次提出要求,并说明教学重点及难点)

第一章  多项式

第一节  数域

1.掌握数域的概念;

2.理解有理数数域是最小的数域,掌握复数域,实数域和有理数域之间的关系。

第二节  一元多项式

1.了解一元多项式的定义;

2.掌握一元多项式的四则运算及其性质。

第三节  整除的概念

1.掌握带余除法定理,并利用带余除法定理计算商和余式;

2.理解整除的概念,掌握整除的判定。

3.掌握综合除法。

第四节 最大公因式

1.理解最大公因式的概念;

2.掌握辗转相除法,并会求满足要求的

3.理解互素的概念,掌握互素的判定方法。

第五节 因式分解定理

1.掌握不可约多项式的概念及性质;

2.理解因式分解及唯一性定理;,掌握多项式的标准分解式。

第六节 重因式

1.掌握k重因式的概念,理解重因式与微商的关系。

第七节 多项式函数

1.掌握余数定理及其推论;

2.理解多项式函数和多项式之间的关系。

第八节 复系数与实系数多项式的因式分解

1.掌握代数学基本定理;

2.理解复系数多项式因式分解定理,掌握复系数多项式的标准分解式。

2.理解实系数多项式因式分解定理,掌握实系数多项式的标准分解式。

第九节 有理系数多项式

1.掌握本元多项式的概念;

2.理解高斯引理,掌握有理系数多项式的基本性质以及埃森斯坦因判别法。

第十节 多元多项式

1.掌握多元多项式以及对称多项式的概念,并利用带余除法定理计算商和余式;

2.理解对称多项式的基本定理,掌握多元多项式的因式分解和简化。

第二章 行列式

第一节 引言

1.掌握二阶和三阶行列式的算法理解行列式与线性方程组的关系。

第二节 排列

1.掌握排列,逆序数,奇偶排列的概念;

2.理解排列的奇偶性与置换的关系。

第三节  n级行列式

1.了解利用定义计算行列式的方法;

2.掌握行列式的性质1

第四节 n级行列式的性质

1.理解并掌握行列式的各种性质。

第五节 行列式的计算

1.理解矩阵的概念掌握矩阵的初等变换并利用矩阵的初等变换简化行列式的计算。

第六节 行列式按一行(列)展开

1.理解余子式和代数余子式的概念;

2.掌握行列式按一行(列)展开计算行列式的方法;

3.掌握形如范德蒙德行列式的计算。

第七节 克拉默(Cramer)法则

2.理解并掌握克拉默法则。

第八节 拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则

1.掌握k阶子式的代数余子式的概念;

2.理解并掌握拉普拉斯定理和行列式的乘法原理。

第三章 线性方程组

第一节 消元法

1.掌握代入消元法和高斯消元法;

2. 理解方程组的初等变换。

第二节 n维向量空间

1.掌握n维向量的概念,掌握向量的加减法运算以及数与向量相乘。

第三节 线性相关性

1.理解线性相关,线性无关,线性表出,等价,极大线性无关组等概念。

2.掌握判断向量组线性相关和线性无关的方法,掌握将一个向量被其他向量线性表出的方法;

3.理解有关向量组线性相关性的若干结论。

第四节 矩阵的秩

1.掌握矩阵的行秩,列秩和秩的概念;

2.理解矩阵的秩与矩阵的子式的关系;

3.掌握计算矩阵的秩的方法,并求矩阵的列(行)向量组的极大线性无关组。

第五节 线性方程组有解的判定定理

1.理解并掌握线性方程组有解判定定理。

第六节 线性方程组界的结构定理

1.掌握齐次线性方程组的基础解系的概念;

2.理解并掌握(齐次)线性方程组的解的结构定理并能熟练求解线性方程组。

第七节 二元高次方程组

1.了解求解二元高次方程组的一般方法。

第四章 矩阵

第一节 矩阵概念的一些背景

1.了解矩阵概念的背景。

第二节矩阵的运算

1.掌握矩阵的四则运算以及矩阵的数量乘法并能熟练的应用各种运算性质进行计算。

第三节矩阵乘积的行列式与秩

1.理解矩阵乘积的行列式和行列式的乘积之间的关系;

2.掌握矩阵的各种运算的秩与原来矩阵的秩之间的关系。

第四节矩阵的逆

1.掌握可逆矩阵以及矩阵的伴随矩阵和矩阵的逆的概念;

2.掌握矩阵可逆的条件以及矩阵的逆的求法;

3.理解矩阵求逆与其他矩阵运算之间的关系并能求解简单的矩阵方程。

第五节 矩阵的分块

1.掌握矩阵分块原理,并利用矩阵分块原理解决相关问题。

第六节 初等矩阵

1.掌握初等矩阵的概念;

2.理解初等矩阵的乘法与矩阵的初等变换之间的关系,并利用初等矩阵解决相关问题。

第七节 分块乘法的初等变换及应用举例

1.掌握利用分块矩阵以及矩阵初等变换相结合简化矩阵运算的方法,并能利用来解题。

第五章 二次型

第一节 二次型及其矩阵表示

1.掌握二次型及其矩阵的定义,矩阵的合同关系;

2.理解二次型的线性替换和矩阵的合同关系之间的关系。

第二节 标准形

1.掌握利用二次型的非退化线性替换化二次型为标准形的方法及矩阵方法;

2.掌握利用上述方法化二次行为标准形的具体步骤并能用之解决问题。

第三节 唯一性

1.掌握实(复)二次型的规范型的概念;

2.理解规范型的唯一性定理及证明,并用之解决实际问题。

第四节 正定二次型

1.掌握正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型的概念;

2.理解正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型的所有等价条件并能灵活利用个等价条件解决问题。

第六章 线性空间

第一节 集合·映射

1.掌握集合与映射定义,理解单射,满射,可逆映射的定义,并能验证映射的可逆性并求映射的逆。

第二节 线性空间的定义与简单性质

1.掌握线性空间的定义会判断怎样的集合是线性空间;

2.掌握线性空间的简单性质,并利用性质解决相关问题。

第三节 维数·基与坐标

1.掌握维数、基、坐标的概念,会求线性空间的维数和基,对于任意一个向量会求他在某组基下的坐标;

第四节 基变换与坐标变换

1.理解线性空间任意两组基之间的关系,了解基变换矩阵,会通过基座标变换矩阵来求向量的坐标。

第五节 线性子空间

1.掌握线行子空间的概念和判定;

2.了解线行子空间的基和原线性空间的基之间的关系。

第六节 子空间的交与合

1.理解并掌握维数定理;

2.理解任意多个子空间的交仍是子空间,任意有限多个子空间的和是子空间。

第七节 子空间的直和

1.掌握子空间的直和的概念;

2.理解子空间的直和的判定条件,并会利用条件判断子空间的和是否位直和。

第八节 线性空间的同构

1.掌握线性空间同购的概念,会判断怎样的映射是同构映射;

2.理解并掌握线性空间的同构的充要条件并构造同构的线性空间之间的同构映射。

第七章 线性变换

第一节 线性变换的定义

1.掌握线性变换的概念及基本性质理解线性变换与映射的关系。

第二节 线性变化的运算

1.掌握线性变换的和、差、积、商,以及线性变换的数量乘积和逆仍然是线性变换。

第三节 线性变换的矩阵

1.掌握线性变换及其运算和矩阵及其运算之间的关系;

2.理解线性变换在不同基下的矩阵之间的相似关系,并了解相似关系的性质。

第四节 特征值与特征向量

1.掌握特征值、特征向量与特征多项式的概念;

2.理解特征值与特征向量之间的关系;

3.对于任意的线性变换(方阵)会求其特征多项式,特征值和特征向量。

4.理解相似的矩阵的特征多项式及特征值之间的关系。

第五节 对角矩阵

1.掌握任意方阵客对角化的所有充分必要条件,充分条件以及必要条件;

2.掌握判断矩阵可对角化的方法,并能将可对角化的矩阵对角化。

第六节 线性变换的值域与核

1.掌握线性变换的值域与核,秩与零度的概念;

2.理解线性变换的秩和零度的和等于线性空间的维数,并能用之解决问题。

第七节 不变子空间

1.掌握不变子空间的概念以及线性变换在子空间上的限制;

2.理解利用不变子空间简化线性变换(矩阵)的方法,并能利用它简化矩阵。

第八节 若尔当(Jordan)标准形

1.掌握矩阵的若尔当标准形的概念;

2.理解矩阵的若尔当块和其对应的线性空间的不变子空间的关系;

3.掌握将矩阵化为若尔当标准形的方法,并会利用该方法化矩阵为若尔当型矩阵。

第九节 最小多项式

1.掌握最小多项式的概念;

2.理解矩阵(线性变换)的最小多项式和特征多项式以及若尔当标准形的关系,并会求矩阵的最小多项式。

第八章矩阵

第一节矩阵

1.掌握矩阵,矩阵的秩的定义以及矩阵可逆的充要条件。

第二节矩阵在初等变换下的标准形

1.掌握矩阵的初等变换,以及矩阵的标准形的定义;

2.理解并掌握用矩阵的初等变换化矩阵为标准形的方法,并能讲矩阵化为标准形。

第三节 不变因子

1.掌握行列式因子和不变因子的定义,理解两者之间的关系,并会求矩阵的不变因子和行列式因子;

2.理解矩阵的标准形是唯一的。

第四节 矩阵相似的条件

1.掌握理解用矩阵的等价和不变因子刻画矩阵相似,并能利用矩阵判断矩阵是否相似。

第五节 初等因子

1.理解行列式因子,不变因子,初等因子之间的关系;

2.掌握不变因子,初等因子的求法,并会求解不变因子和初等因子;

3.理解初等因子跟矩阵的标准形之间的关系。

第六节 若尔当(Jordan)标准形的理论推导

1.掌握利用矩阵,不变因子,初等因子,解决矩阵的相似对角化问题以及矩阵的若尔当标准形问题。

第七节 矩阵的有利标准形

1.掌握利用矩阵,解决矩阵的有理标准形问题的方法。

第九章 欧几里得空间

第一节 定义与基本性质

1.掌握内积的定义和性质;掌握欧几里得空间的定义;

2.掌握欧几里得空间中向量的长度和家教的概念,正交的概念;

3.掌握欧几里得空间的柯西-布涅科夫斯基不等式,以及度量矩阵。

第二节 标准正交基

1.掌握标准正交基的概念;

2.掌握施密特正交化方法,并学会利用施密特正交化方法求欧几里得空间的标准正交基;

3.掌握正交矩阵的概念,理解两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交阵。

第三节 同构

1.理解欧几里得空间同构的概念。

第四节 正交变换

1.掌握正交变换的概念,理解正交变换在标准正交基下的矩阵是正交阵;

2.掌握正交变换的性质,并利用正交变换的性质解题。

第五节 子空间

1.掌握欧几里得空间的子空间的定义,掌握欧几里得空间的子空间的正交补的定义,并能够找出欧几里得空间的子空间的正交补。

第六节 实对称阵的标准形

1.理解掌握利用正交合同变换化实对称阵为对角阵的方法,并能解决相关问题。

第七节 向量到子空间的距离·最小二乘解

1.掌握距离的概念;

2.理解利用最小二乘法解决具体问题的方法。

第八节 酉空间介绍

1.掌握酉空间的定义和性质;

2.理解酉空间与欧几里得空间的共同点和差异。

第十章 双线性函数与辛空间

第一节 线性函数

1.掌握线性函数的概念。

第二节 对偶空间

1. 掌握对偶空间与对偶基的定义,并会求线性空间的对偶空间。

2. 掌握对偶空间的性质。

第三节 双线性函数

1.掌握双线性函数的概念,度量矩阵的概念;

2.了解双线性函数与矩阵的关系以及特别的双线性函数。

第四节 辛空间

1.掌握辛空间,辛同构,辛正交基,辛正交补等有关定义;

2.了解Witt定理。

(二)实践教学的内容及要求

无实践要求

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章:多项式

25

21

4

第二章:行列式

25

21

4

第三章:线性方程组

25

19

6

第四章:矩阵

27

21

6

第五章:二次型

13

11

2

第六章:线性空间

15

11

4

第七章:线性变换

21

17

4

第八章:矩阵

12

10

2

第九章:欧几里得空间

18

14

4

第九章:双线性函数与辛空间

6

6

 

187

151

36











五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合;期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+期中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.北京大学数学系几何与代数教研室编 王萼芳、石生明修订《高等代数》(第三版),高等教育出版社,2003年。

   (二)主要参考书目

1. 王萼芳,石生明修订《高等代数》,(第三版)高等教育出版社;

2. 复旦大学数学系主编,《高等代数》,上海科技出版社1987年版;

“普通物理”教学大纲

教研室主任:赵京东          执笔人:赵京东

一、课程基本信息

开课单位:物理科学学院

课程名称:普通物理

课程编号06100421

英文名称General Physics

课程类型学科基础课

总 学 时102        理论学时:74   实验学时:28   课外学时:

   分:6

开设专业:数学与应用数学

先修课程:数学分析(06100231

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是理工科非物理专业的一门必修的自然科学基础课。课程以学习经典物理学的基础知识为主,适当的介绍某些近代物理学内容,以力学、电学位重点,并力求结合数学专业的特点,充分利用所学的数学知识来组织教材和进行教学。通过本课程学习使学生掌握物理学基本概念、基本理论和基本规律,并运用物理学理论、观点和方法,分析、研究、计算或估计一些简单的物理问题,为学习数学理论提供必要的物理模型,了解物理学的研究方法,并为应用数学工具解决实际问题打下初步基础。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1. 掌握物理学基本概念、基本理论和基本规律,并运用物理学理论、观点和方法,分析、研究、计算或估计一些简单的物理问题,为学习数学理论提供必要的物理模型;

2.了解物理学的研究方法,并为应用数学工具解决实际问题打下初步基础。

三、教学内容和要求

课程分为四部分:1.力学部分,2.热学部分,3.电磁学部分,4.光学和近代物理部分

(一)理论教学的内容及要求

课程教学重点:

非惯性系中的牛顿定律,动量与冲量,动量定理,动量守恒定律,机械能守恒定律、能量守恒定律,同方向同频率简谐振动的合成、复杂振动与简谐振动的关系,能量均分定理、理想气体内能,电流的功和功率、焦耳-楞次定律及微分形式,磁场线、磁通量、磁场高斯定理,毕奥-萨伐尔定律,电磁感应基本规律、法拉第电磁感应定律、楞次定律,次感应强度、磁场强度和磁化强度的关系,衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理,单烽衍射、衍射光栅,爱因斯坦狭义相对论基本假设、洛仑兹变换,原子核的放射性衰变,核力、核模型等等

课程教学难点:

动量守恒定律,理想气体内能,电磁感应基本规律,法拉第电磁感应定律、楞次定律,爱因斯坦狭义相对论基本假设等等。

第一部分、力学部分

一、质点运动学

1.掌握参照系和坐标系、质点的概念

2.掌握位置矢量和运动方程、位移、速度和加速度的定义和计算

3.掌握路程和速率、自然坐标系中的速度和加速度

4.掌握直线运动、抛体运动、圆周运动

二、牛顿运动定律

1.掌握牛顿定律表述和意义

2.掌握牛顿定律应用举例

3.理解非惯性系中的牛顿定律

4.了解单位制和量纲简介

三、动量与冲量

1.掌握动量与冲量、动量定理

2.掌握动量守恒定律

3.理解碰撞的概念

四、功和能

1.掌握功和功率定义及计算

2.掌握动能和动能定理

3.掌握势能、功能原理

4.掌握机械能守恒定律、能量守恒定律

五、刚体的转动

1.掌握刚体的平动和定轴转动

2.掌握力矩、转动定律、转动惯量

3.掌握转动动能、力矩的功

4.掌握刚体的角动量、角动量守恒定律

六、机械振动和机械波

1.理解简谐振动特征

2.掌握简谐振动中的振幅、位相、周期和频率

3.掌握简谐振动的速度和加速度、简谐振动的能量

4.掌握同方向同频率简谐振动的合成、复杂振动与简谐振动的关系

5.掌握机械波的产生和传播、波长、频率和波速

6.掌握平面简谐波波函数、波的能量和波强

7.理解惠更斯原理、波的叠加原理、波的干涉衍射现象

第二部分、热学部分

一、气体分子运动轮

1. 掌握分子运动论的基本概念

2. 掌握气体状态参量、平衡态

3. 掌握理想气体状态方程

4. 理解压强、温度与微观量的联系

5. 掌握能量均分定理、理想气体内能

6. 掌握气体分子速率的统计分布规律、三种速率的意义与表达式

7. 理解分子的碰撞频率和平均自由程

二、热力学基础

1. 掌握系统的内能、功和热量

2. 掌握热力学第一定律

3. 掌握热力学第一定律对理想气体的应用,等容、等压、等温、绝热过程定量分析

4. 理解卡诺循环、热机效率、卡诺定理

5. 理解热力学第二定律

三、真实气体

1. 理解真实气体等温线、饱和蒸汽、临界状态

2. 掌握范德瓦尔斯方程

第三部分、电磁学部分

一、静电场

1. 掌握库仑定律

2. 掌握电场和电场强度

3. 掌握点电荷电场强度、场强叠加原理

4. 掌握电场线、电通量、真空和介质中的高斯定理

5. 掌握电场力的功、电势和电势差

6. 掌握点电荷的电势、电势叠加原理

7. 掌握场强与电势的微分关系

8. 掌握静电场中的导体、静电感应、静电屏蔽

9. 理解电场中的介质、电介质的极化

10. 掌握电容和电容器、电场的能量

二、直流电

1. 掌握稳恒电流、电流强度和电流密度

2. 掌握欧姆定律微分形式

3. 掌握电流的功和功率、焦耳-楞次定律及微分形式

4. 掌握电动势、闭合电路欧姆定律

5. 掌握基尔霍夫定律

三、电流的磁场

1. 掌握磁现象、磁场、磁感应强度

2. 掌握磁场线、磁通量、磁场高斯定理

3. 掌握毕奥-萨伐尔定律

4. 掌握安培环路定理、磁场强度、介质中安培环路定理

四、磁场对电流的作用

1. 掌握磁场对载流导线的作用力、安培定律

2. 掌握运动电荷受磁场作用力-洛仑兹力

3. 理解磁场对载流线圈的作用、磁矩

4、掌握平行电流间作用力-安培定义

五、电磁感应

1. 掌握电磁感应基本规律、法拉第电磁感应定律、楞次定律

2. 掌握动生电动势

3. 掌握感生电动势、涡旋电场

4. 掌握自感和互感、磁场的能量

六、物质的磁性

1. 掌握磁介质和磁化强度

2. 掌握次感应强度、磁场强度和磁化强度的关系

3. 理解铁磁质

七、电磁振荡和电磁波

1. 掌握麦克斯韦电磁方程组

2. 掌握电磁波的产生和传播

3. 理解电磁波谱

第四部分、光学和近代物理部分

一、光的干涉

1. 掌握光的单色性和相干性、相干光的获得

2. 理解双缝干涉、薄膜干涉、劈尖干涉

.光的衍射

1. 掌握衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理

2、掌握单烽衍射、衍射光栅

3. 了解光学仪器的分辨率

三、光的偏振

1. 掌握自然光和线偏振光、偏振片、马吕斯定律

2. 掌握反射和折射时光的偏振

3. 理解光的双折射现象

4. 了角旋光现象

四、狭义相对论基础

1、掌握伽利略变换和经典力学时空观

2. 了解爱因斯坦狭义相对论基本假设、洛仑兹变换

3. 了解相对论中的长度、时间和同时性

4. 了解相对论力学基础

五、光的量子性

1. 掌握绝对黑体辐射定律、光电效应

2. 了解普朗克量子假说、普朗克定律

3. 理解爱因斯坦方程、光子、光的波粒二象性

六、原子的量子理论

1. 掌握原子光谱、波尔的氢原子理论

2. 理解实物粒子的波粒二象性

3. 理解测不准关系

4. 掌握波函数、薛定谔方程

5. 了解一维势阱、氢原子的量子力学处理方法

6. 了解多电子原子系统、元素周期表

七、原子核和基本粒子简介

1. 了解核的组成和基本性质

2. 理解原子核的放射性衰变

3. 了解核力、核模型

4. 了解基本粒子简介

(二)实践教学的内容及要求

安排必做实验12个,选做实验1个,设计实验1个。(关于实验项目、内容、要求及学时分配详见下表)

序号

实验项目名称

时数

必开/选开

实验类型

1

长度测量

3

必开

①掌握游标卡尺和螺旋测微器的使用及读数;②进一步掌握误差、有效数字的基本概念及运算法则。

综合型

2

固体密度的测定

3

必开

①进一步掌握游标卡尺的使用及读数;②掌握物理天平的正确使用方法及读数;③学会静力称衡法测量固体的密度。

综合型

3

弹簧倔强系数的测定

3

必开

①学会焦利氏秤的使用及读数规则;②掌握测弹簧倔强系数的原理;③学会用外推法求算弹簧的等效质量。

综合型

4

单摆测重力加速度

3

必开

①掌握用单摆法测重力加速度的原理;②学会停表的使用及读数;③学会用图解法处理数据。

验证型

5

自由落体运动研究

3

必开

①了解光电转换原理;②掌握自由落体加速度的测量原理;③学会用二次逐差法处理实验数据。

研究型

6

驻波法测定电振音叉频率

3

选开

①了解弦上形成的驻波波速的公式;②能利用驻波测出半波长;③能利用驻波法测定电振音叉的频率。

验证型

7

气垫导轨实验()

3

选开

①了解气垫导轨的设计原理及使用方法;②验证牛顿第二定律。

设计型

8

气垫导轨实验()

3

选开

①了解气垫导轨的设计原理及使用方法;②验证动量守恒定律。

设计型

9

用三线摆法测定刚体的转动惯量

3

选开

①理解用三线摆法测定刚体转动惯量的原理;②学会用三线摆法测匀质圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。

综合型

10

声速的测定

3

选开

①用驻波法测定空气中的声速(或用位相法测定空气中的声速);②学会用逐差法处理实验数据(利用李沙育图形的变化观测位相差);③测定声音的传播速度。

验证型

11

用拉脱法测液体的表面张力系数

3

必开

①了解液体的表面性质;②能用焦利氏秤测出液体的表面张力系数。

综合型

12

液体粘滞系数的测定

3

选开

①掌握用落球法测定液体的粘滞系数的原理;②熟练地运用基本仪器测量时间、长度和温度;③能测定液体的粘滞系数。

综合型

13

固体导热系数的测定

3

选开

①了解测导热系数的原理;②测定固体的导热系数。

综合型

14

电路接线练习与万用表使用

3

必开

①掌握滑线变阻器限流和分压的特点;②学会万用表的使用及读数规则。

综合型

15

用电流场模拟静电场

3

必开

①掌握用模拟法测绘静电场的原理和方法,从而加深对电场强度和电势概念的理解;②学习用模拟法测绘静电场的等势线和电场线;③学习用图示法表达实验结果。

验证型

16

用惠斯登电桥测量电阻

3

必开

①掌握惠斯登电桥测电阻的原理;②掌握用自组式惠斯登电桥测电阻的方法及箱式惠斯登电桥的使用方法;③了解提高电桥灵敏度的几种途径。

综合型

17

伏安法测晶体二极管的特性

3

必开

①能正确使用安培表和伏特表;②掌握测量伏安特性的两种方法及其修正;③了解二极管的伏安特性并作其特性曲线。

综合型

18

电表的扩程和校准

3

必开

①熟悉电流表、电压表的构造原理并了解电表改装的原理和方法;②学习扩程和校准电流表、电压表的基本方法;③了解校准曲线的意义。

综合型

19

用电位差计校准电表

3

选开

①了解补偿法原理;②初步掌握电位差计的使用;③学会用电位差计校准电表的方法;④了解电表的引用误差分布和电表的准确度级别的确定。

综合型

20

热敏电阻的特性研究

3

选开

①了解电阻的热敏特性;②研究电阻与温度的关系。

研究型

21

示波器的原理和使用

3

选开

①了解示波器的面板结构及各旋钮的功能;②理解简谐波的合成原理。

综合型

22

用电磁感应法测磁场分布

3

选开

①掌握用电磁感应法测磁场分布的原理;②描绘磁场分布

综合型

23

用牛顿环测平凸透镜的曲率半径

3

必开

①观察牛顿环产生的等厚干涉现象,加深对等厚干涉的认识;②掌握利用牛顿环测平凸透镜曲率半径的原理。

综合型

24

薄透镜焦距的测定

3

必开

①掌握测定凸透镜焦距的方法,加深对透镜成象公式的了解;②了解不同物距下凸透镜成象性质的规律;③掌握共轴光具的调节。

验证型

25

光栅常数的测定

3

选开

①加深对光栅衍射的理解;②初步掌握分光计的调节方法;③掌握用光栅测波长及由波长测光栅常数的方法。

综合型

26

单缝衍射的条纹位置及强度分布

3

选开

①测量夫琅和费单缝衍射的条纹位置和光强分布,加深对光的衍射现象的理解;②了解He—Ne激光的特点和应用;③掌握使用光点检流计测量光的相对强度的方法。学会测定透镜焦距的原理和方法。

综合型

27

液体折射率的测定

3

选开

①掌握测定液体折射率的原理和方法;②能正确测得液体的折射率。

验证型

24

用显微镜测量微小长度

3

选开

①了解测量微小长度的原理;②能正确读数。

综合型

25

光电效应

3

选开

①了解光电效应的基本规律,加深对光量子性的理解;②了解光电管的结构和性能,并测定其基本特性曲线;③验证爱因斯坦光电效应方程,测定普朗克常数。

综合型

四、学时分配

(本项编写要求:按章节简要编写各教学环节的学时分配)

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一部分:力学部分

35

25

10

任选一个设计型实验

第二部分:热学部分

15

12

3

第三部分:电磁学部分

35

25

10

第四部分:光学和近代物理部分

17

12

5

   

85

74

28











五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合;期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+期中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.程守洙等《普通物理学》,高等教育出版社2001年第5

   (二)主要参考书目

1.汤毓骏《大学物理新编》,中国纺织大学出版社 2001年第2版。

2.张三慧《大学物理学》,清华大学出版社  2000年第2



“离散数学”教学大纲

教研室主任:赵京东       执笔人:杨淑娣

一、课程基本信息

开课单位数学科学学院

课程名称离散数学

课程编号06100511

英文名称Discrete Mathematics

课程类型学科基础课

总 学 时51      理论学时:51   实验学时:   课外学时:

   分: 3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:高等代数(06100321)

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是数学与应用数学专业的专业课程,是计算机科学中基础理论的核心课程。它以研究离散变量的结构和相互关系为主要目标,是一门新兴的工具性学科。课程主要分为数理逻辑、集合论、计数、数论及图论等5个部分。

本课程的任务是在68学时的时间内讲授命题逻辑、集合与关系、计数原理与技术、整数与整除、数论应用、图的基本概念以及几类重要的图等内容;使学生基本掌握离散数学中的一些基本概念及基本方法及它们的应用。

(二)课程目标

通过本课程的学习,使学生掌握《离散数学》的基本理论、基本方法和基本技巧,进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力,为学生今后学习一些后继课程(如数据结构、编译原理等)奠定必要的理论基础,也为学生从事计算机方面的工作研究,打下坚实的数学基础。

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

第一章 命题逻辑

本章是数理逻辑的基础内容。简要介绍数理逻辑的发展和应用,通过讲授,使学生熟练掌握常用联结词、命题符号化、推理规则、判断推理有效的演绎法;掌握命题、真值表、对偶式、代入规则、替换规则、主析取(合取)范式,间接证法;了解联结词的扩充。

第三章 集合与关系

熟练掌握容斥原理、序偶、笛卡尔积、关系及其复合、关系的性质及判别方法、关系的闭包、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、相容关系、偏序关系、哈斯图的画法、极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元等概念;掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律;掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质;掌握关系的矩阵表示和关系图;了解最大相容类、全序关系、良序关系。

第七章 计数原理与技术

熟练掌握基本计数原理、鸽洞原理、排列与组合公式、重集的排列与组合公式;了解递推关系及其解法。

第九章 整数与整除

熟练掌握素数、最大公因数、最小公倍数、带余除法、同余的定义及性质、威尔逊定理、欧拉函数、完全剩余系、简化剩余系、欧拉定理、费尔马小定理;掌握整数分解唯一性定理、完全(简化)剩余系的判别方法;了解孪生素数、歌德巴赫猜想。

第十一章  数论应用

熟练掌握一次同余式组及孙子定理;掌握一元一次同余式有解的充分必要条件、最基本的二次同余式、模p的二次(非)剩余,勒让德符号、高斯二次互反定理、RSA公钥密码系统;了解二次同余式的定义及解法、传统加密法。

第十六章 图的基本概念及其矩阵表示

熟练掌握图的定义、简单图、无向完全图、子图、生成子图、链(路)、圈(回路)、连通图、强连通图、最短链与关键路算法、图的邻接矩阵、Warshall算法求可达矩阵;掌握结点、边(弧)、有(无)向图、加权图、结点的度、握手定理、简单链(路)、基本链(路)、简单圈(回路)、基本圈(回路);了解混合图、零图、补图、关联矩阵。

第十七章 几类重要的图

熟练掌握欧拉圈(回路)、欧拉图的定义及充要条件、哈密顿圈(回路)、哈密顿图的定义及充分条件、必要条件、树的等价定义、生成树、最小生成树及其算法;掌握欧拉链(路)、哈密顿链(路)、有向图存在欧拉路(回路)的充要条件;了解图的闭包、森林、联结uv的最短链及其G.Dantzig算法、有向树、二叉树、前缀码等。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章:命题逻辑

9

8

1

第三章:集合与关系

13

12

1

第七章:计数原理与技术

5

4

1

第九章:整数与整除

7

6

1

第十一章:数论应用

7

6

1

第十六章:图论的基本概念及其矩阵表示

5

4

1

第十七章:几类重要的图

6

4

2

   

51

44

7

五、考核说明

本课程考核方式为考试。主要考核学生对基础理论,基本概念的掌握程度,以及学生实际应用能力。平时作业成绩占10%,期中考试成绩占20%,期末考试成绩占70%

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.李盘林、李丽双、赵铭伟等,《离散数学》(第二版),高等教育出版社,2006年。

(二)主要参考书目

1.耿素云等,《离散数学教程》,北京大学出版社,2003年;

2徐洁磐,《离散数学导论》(第二版),高等教育出版社,1991

3Kenneth H.Rosen 著,《Discrete Mathematics and Its Applications》(英文版),机械工业出版社,2003年。

数学实验教学

教研室主任:赵京东           执笔人:刘爱晶

一、课程基本信息

开课单位数学科学学院

课程名称数学实验

课程编号06100611

英文名称Mathematical Experiment

课程类型学科基础课

总 学 时51        理论学时:34   实验学时:17   课外学时:

   分:3

开设专业:数学与应用数学专业

先修课程:数学分析(06100231  高等代数(06100321

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是一门数学类专业学科基础课课程。本课程的任务是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系,而是把它视为一门“实验科学”,从问题出发,通过学习Mathematica数学软件,借助计算机,学生亲自设计和动手,体验解决问题的过程,从实验中去学习、探索和发现数学的规律。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1. 熟悉Mathematica数学软件的安装、启动、退出;

2. 熟悉计算机基本操作,掌握Mathematica语言程序的设计与编写,能编程解决一些数学问题;

3. 能独立地进行实验前预习准备,会书写实验报告。

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

第一部分  Mathematica简介

Mathematica中的基本量

了解Mathematica中的基本量:数、变量、表、初等函数、自定义函数、表达式等的定义及运算。

第二节  Mathematica中作图

掌握Plot, ParametricPlot, Plot3D, ParametricPlot3D, ListPlot函数以及图形元素作图函数Point, Line, Circle,Polygon等的用法。

第三节  初等代数运算

掌握多项式运算、方程求根、和与积等函数的用法。

第四节  微积分

了解求极限、求微商与微分、求定积分与不定积分、幂级数展开、求解微分方程等函数。

第五节  线性代数

掌握向量和矩阵的定义与运算、方程组求解等函数。

第六节  数值计算方法

掌握Interpolation, Fit, FindRoot, NIntegerate, FindMinimum等函数的用法。

第七节  过程编程

熟练掌握几种条件控制结构和循环控制结构。

第二部分  有关实验

实验一  微积分基础

1. 掌握借助Mathematica图形功能研究函数的性质的方法;

2. 了解编制对数表的方法;

3. 了解调和级数与欧拉常数的关系;

4. 掌握画双曲正弦(余弦)曲线的方法;

5. 了解双曲函数名称的由来。

实验二  怎样计算

掌握用数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法计算及其它未知量的方法。

实验三  最佳分数近似值

了解怎样用分母小、误差小的分数近似值逼近实数及连分数理论。

实验四  数列与级数

掌握用图象研究数列极限行为的方法。

实验五  素数

1. 掌握探索素数有无穷多个的方法;

2. 学会用筛法和试除法构造素数表;

3. 了解探索素数生成公式的有关工作;

4. 了解素数的分布规律。

实验六  概率

1. 掌握用随机模拟法求事件概率的方法;

2. 了解二项分布,普阿松分布,正态分布的有关知识。

实验七  几何变换
了解各种变换(线性变换、射影变换、非欧几何变换、复变换等)下平面图形的变化情况及不变量。

实验八  天体运动
1.
通过计算机模拟了解产生天体运动、电场作用等物理现象;

2. 掌握微分方程的数值解等数学方法。
实验九  迭代(一)----方程求解

1. 掌握用迭代方法求解方程和方程组的方法;

2. 了解影响收敛速度的各种因素。

实验十  寻优

了解均匀搜索法,0.618法,求导法,最速下降法,最小二乘法。

实验十一  最速降线

了解寻找最速降线、等时曲线的思想方法。

实验十二  迭代(二)----分形

1. 了解生成元的概念;

2. 了解Koch曲线,Hilbert曲线, Sierpinski三角形的生成方法;

3. 了解IFS迭代的思想。

实验十三  迭代() ----混沌

了解混沌现象及其所蕴涵的规律性。

实验十四  密码

1. 了解单表密码、多表密码、现代序列密码体制的主要缺陷;

2. 掌握 RSA公钥体制的原理和方法。

(二)实践教学的内容及要求

1. Mathematica编程及实现

熟练掌握Mathematica的各种函数及格式,掌握Mathematica编程及实现。

2. 教材中的有关实验

从教材中选取67个实验,相关要求参见理论教学的内容及要求。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一部分:Mathematica简介

20

15

5

第二部分:有关实验

31

19

12

 

51

34

17











五、考核说明

  本课程采用期末考试与平时测评相结合。期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+期中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.李尚志等《数学实验》,高等教育出版社,2004年。

   (二)主要参考书目

1.乐经良等《数学实验》,高等教育出版社,1999年。

2.萧树铁等《数学实验》,高等教育出版社,1999年。

《常微分方程》教学大纲

教研室主任:  郑召文          执笔人:郑召文

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:常微分方程

课程编号06100711

英文名称Ordinary Differential Equations

课程类型学科基础课

总 学 时  51      理论学时:51   实验学时: 0  课外学时:0

   分:  3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:无

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程系统讲授常微分方程的基本理论及基本解法,使学生掌握求解一些特殊类型方程的基本方法,掌握常微分方程的一些基本理论,以及培养学生运用常微分方程知识解决一些实际问题的能力。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.掌握微分方程与解的概念;

2.掌握微分方程的初等解法;

3.掌握存在惟一性定理、延展定理;

4.掌握高阶线性微分方程解的结构及常系数线性微分方程的解法;

5.掌握线性方程组的解的结构及常系数线性方程组的解法;

6.了解稳定性以及冲动奇点的分类.

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

第一章                 初等积分法

第一节           掌握微分方程与解的概念

第二节           掌握变量可分离方程的解法

第三节           掌握齐次方程的解法

第四节           掌握一阶线性方程的解法

第五节           掌握全微分方程及积分因子的解法

第六节           了解线素场与欧拉折线

第七节           掌握一阶隐式微分方程的解法

第八节           了解一阶微分方程应用举例

第九节           了解几种可降阶的高阶方程的解法

第二章                 基本定理

第一节           熟练掌握解的存在惟一性定理,证明解的存在惟一性

第二节           掌握解的延展定理,会判断解的存在区间

第三节           了解解对初值的连续依赖性

第四节           了解解对初值的可微性

第三章                 线性微分方程

第一节         掌握线性方程的一般性质

第二节         熟练掌握线性齐次方程的基本理论

第三节         掌握线性非齐次方程的基本理论

第四节         掌握n阶常系数线性齐次方程解法

第五节         掌握 n阶常系数线性非齐次方程解法

第六节         会应用拉普拉斯变换求解初值问题的解。

第四章                 线性微分方程组

第一节           掌握一阶微分方程组的一般理论

第二节           掌握线性微分方程组的基本概念

第三节           熟练掌握线性齐次方程组的基本理论

第四节           熟练掌握线性非齐次方程组的基本理论

第五节           掌握常系数线性微分方程组的解法。

第五章                 定性与稳定性概念

第一节           了解相平面作图及单摆的运动方程

第二节           掌握初等奇点附近轨线的分布

第三节           会求所给系统的极限环

第四节           掌握稳定性的概念

(二)实践教学的内容及要求

四、学时分配

(本项编写要求:按章节简要编写各教学环节的学时分配)

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章   初等积分法

12

10

2

第二章  基本定理

12

10

2

第三章  线性微分方程

10

8

2

第四章  线性微分方程组

10

8

2

第五章  定性与稳定性概念

7

7

五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合;期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+期中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.东北大学数学系微分方程教研室编《常微分方程》,高等教育出版社,2003年(第二版)。

(二)主要参考书目

1.丁同仁 李成智《常微分方程教程》(第二版),高等教育出版社2004年版;

2.王高雄等《常微分方程》(第三版),高等教育出版社2006年版。

计算方法”教学大纲

教研室主任:赵京东            执笔人:刘爱晶

一、课程基本信息

开课单位数学科学学院

课程名称计算方法

课程编号

英文名称Numerical  Methods

课程类型学科基础课

总 学 时51        理论学时:51   实验学时:0   课外学时:0

   分:3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:数学分析(06100231  高等代数(06100321

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是一门数学类专业学科基础课课程。本课程的任务是使学生获得计算数学的基本思想方法和数值代数、数值逼近、非线性方程的数值解法、微分方程数值解法的系统的基本知识。它一方面为学生继续从事计算数学方向的学习提供一些所需的基础理论和知识,另一方面还对提高学生思维能力,开发学生智能加强 “三基”(基础知识、基本理论、基本技能)及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法;

2.掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理;

3.能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题,增强综合运用知识的能力;

4.了解科学计算的发展方向和应用前景。

三、教学内容和要求

第一章  绪论

教学重点:近似数的误差表示,函数值的误差,设计算法应该注意的事项。

教学难点:有效数字的计算,函数值的误差。

第一节  数值分析的对象与特点

了解数值分析的研究对象与特点。

第二节  误差来源与误差分析的重要性

了解误差的来源与常用的控制方法。

第三节  误差的基本概念

掌握误差概念和函数值的误差估计式。

第四节  数值运算中误差分析的方法与原则

理解误差分析的一些基本原则和数值稳定性概念。

第二章  插值法

教学重点:拉格朗日插值多项式,牛顿插值多项式,牛顿前差插值多项式和牛顿后差插值多项式,分段低次插值法的基本原理和插值公式。

教学难点:埃尔米特插值多项式的公式推导和误差分析,样条插值函数。

第一节  引言

了解插值法的背景及相关概念。

第二节  拉格朗日插值

1.掌握拉格朗日插值多项式及其余项表达式;

2.掌握插值基函数及其基本性质。

第三节  逐次线性插值法

理解逐次线性插值法的基本思想。

第四节  均差与牛顿插值公式

掌握牛顿插值多项式及均差的定义和性质,能用均差表求牛顿插值多项式。

第五节  差分与等距节点插值公式

1.掌握等距节点的牛顿前插与后插差分公式;

2.掌握利用差分定义及差分表构造牛顿差分插值多项式并计算函数近似值的方法。

第六节  埃尔米特插值

1.理解带导数的埃尔米特插值多项式的构造方法;

2.掌握用基函数方法构造二点三次埃尔米特插值多项式。

第七节  分段低次插值

1.理解高次插值多项式不具有收敛性和稳定性的缺陷;

2.掌握分段线性插值公式及其收敛性和分段二点三次埃尔米特插值。

第八节  三次样条插值

理解三次样条插值的概念及余项估计。

第三章  函数逼近与计算

教学重点:最佳一致逼近多项式,最佳平方逼近多项式,曲线拟合的最小二乘法。

教学难点:最佳一致逼近多项式,曲线拟合的最小二乘法。

第一节  引言与预备知识

1.了解函数逼近问题;

2.了解最常用的两种度量标准,即一致逼近和平方逼近。

第二节  最佳一致逼近多项式

掌握最佳一致逼近多项式的概念和计算。

第三节  最佳平方逼近

掌握最佳平方逼近多项式的概念和计算。

第四节  正交多项式

1.理解正交多项式的定义及性质;

2.掌握勒让德多项式和切比雪夫多项式的定义及性质。

第五节  函数按正交多项式展开

理解应用函数按正交多项式展开求解最佳平方逼近多项式的方法。

第六节  近似最佳一致逼近多项式

了解求近似最佳一致逼近多项式的三种方法。

第七节  曲线拟合的最小二乘法

掌握最小二乘原理作曲线拟合的方法及计算步骤。

第八节  傅立叶逼近与快速傅立叶变换

理解用三角多项式作最小平方逼近及快速傅立叶变换的算法。

第四章  数值积分与数值微分

教学重点:数值积分与数值微分的基本思想方法,等距节点下的几种低阶牛顿-柯特斯公式,外推法的基本思想,龙贝格算法。

教学难点:高斯求积公式的构造原理和技巧。

第一节  引言

1.了解数值求积的基本思想;

2.掌握求积公式的代数精确度的定义,能利用定义确定求积公式的系数和节点,并能判断一个求积公式的代数精确度。

第二节  牛顿—柯特斯公式

1.理解插值求积公式的原理;

2.掌握梯形公式和辛甫生公式及其余项的表达式和代数精确度;

3.掌握复合梯形公式和复合辛甫生公式及其余项。

第三节  龙贝格算法

掌握外推原理和龙贝格方法。

第四节  高斯公式

掌握高斯公式的定义及构造方法。

第五节  数值微分

1.理解数值微分公式的推导方法;

2.掌握数值微分基本公式。

第五章  常微分方程数值解法

教学重点:欧拉法及改进的欧拉法,龙格-库塔方法,线性多步法。

教学难点:龙格-库塔方法,线性多步法,单步法的收敛性与稳定性分析。

第一节  引言

了解常微分方程数值解法的一些基本概念。

第二节  尤拉方法

1.掌握尤拉方法、后退尤拉法、梯形法、改进的尤拉法的基本公式与构造,并能正确应用这些公式求微分方程数值解;

2.掌握局部截断误差及阶的定义,并能求局部截断误差主项及方法的阶。

第三节  龙格—库塔方法

1.理解显式龙格—库塔方法的基本思想;

2.掌握二阶龙格—库塔方法的推导,能应用二阶龙格—库塔方法及经典四阶龙格—库塔方法求微分方程数值解。

第四节  单步法的收敛性和稳定性

掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念,并能确定给定方法的绝对稳定性区域。

第五节  线性多步法

1.理解线性多步法的两种构造方法;

2.掌握线性多步法的一般表达式及局部截断误差和阶的定义。

第六节  方程组与高阶方程的情形

了解微分方程组与高阶方程的数值解法。

第七节  边值问题的数值解法

了解边值问题的数值解法。

第六章  方程求根

教学重点:二分法的基本原理和操作过程,迭代法的逐步逼近思想,牛顿法的基本思想和迭代公式。

教学难点:牛顿法收敛性和收敛速度的讨论,一般迭代法的收敛性分析。

第一节  根的搜索

了解如何确定方程的有根区间及用二分法求一个足够好的近似根。

第二节  迭代法

掌握迭代法及其收敛性定理,能灵活应用迭代法求方程的根,并判断迭代序列的收敛性。

第三节  牛顿法

掌握牛顿法求根及其局部收敛性与收敛阶定理。

第四节  弦截法与抛物线法

了解弦截法和抛物线法。

第五节  代数方程求根

了解代数方程求根的方法。

第七章  解线性方程组的直接方法

教学重点:矩阵的三角分解,紧凑格式法,平分根法,主元素法,向量范数、矩阵范数的定义和性质,解线性方程组扰动分析,方阵条件数。

教学难点:紧凑格式法,平方根法计算公式的推导,计算矩阵范数的定理证明,解线性方程组扰动分析。

第一节  引言

了解解线性方程组的两类方法。

第二节  高斯消去法

1.理解高斯消去法原理及实现条件;

2.掌握高斯消去法及矩阵的三角分解

第三节  高斯主元素消去法

1.理解高斯完全主元素消去法和高斯—若当消去法;

2.掌握高斯列主元素消去法。

第四节  高斯消去法的变形

1.理解直接三角分解法的基本思想;

2.掌握基本三角分解法及其各种变形。

第五节  向量和矩阵的范数

掌握向量范数和矩阵范数概念及性质。

第六节  误差分析

1.理解扰动分析的推导过程;

2.掌握矩阵条件数的定义,会求矩阵条件数。

第八章  解线性方程组的迭代法

教学重点:雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法,SOR方法,上述常用的迭代法其收敛的条件。

教学难点:一般的迭代法,其收敛性分析的基本方法和主要应用。

第一节  引言

   了解迭代法的基本思想。

第二节  雅可比迭代法与高斯—赛德尔迭代法

1.理解两种迭代法的推导过程;

2.掌握两种迭代法的计算公式、矩阵表示式及迭代矩阵表达式。

第三节  迭代法的收敛性

掌握各迭代法收敛的充分必要条件及充分条件,会判定给定的迭代法是否收敛。

第四节  解线性方程组的超松弛迭代法

理解超松弛迭代法的基本思想及收敛性条件。

第九章  矩阵的特征值与特征向量计算

教学重点:乘幂法,反幂法,QR方法。

教学难点:QR方法的基本思想和操作过程。

第一节  引言

了解矩阵的特征值与特征向量的概念及有关定理。

第二节  幂法与反幂法

掌握乘幂法、反幂法的基本思想、适用情形和优点。

第三节  雅可比方法

掌握雅可比方法的基本思想。

第四节  豪斯荷尔德方法

掌握豪斯荷尔德方法的基本思想

第五节  QR算法

理解QR算法的基本思路、基本步骤。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章:绪论

2

2

第二章:插值法

8

8

第二章:函数逼近与计算

8

8

第四章:数值积分与数值微分

6

6

第五章:常微分方程数值解法

8

8

第六章:方程求根

4

4

第七章:解线性方程组的直接方法

6

6

第八章:解线性方程组的迭代法

6

6

第九章:矩阵的特征值与特征向量

3

3

   

51

51











五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合。期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+期中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.李庆扬等《数值分析》,华中科技大学出版社,1986年。

   (二)主要参考书目

1.林成森《数值计算方法》,科学出版社,1998年。

2.同济大学计算数学教研室编《数值分析》,同济大学出版社,1998年。

“概率论与数理统计”教学大纲

教研室主任:  吕玉华          执笔人:董华

一、课程基本信息

开课单位数学科学学院

课程名称概率论与数理统计

课程编号06100911

英文名称Probability and Statistics

课程类型学科基础课

总 学 时  51  理论学时:51 实验学时: 0  课外学时:0

   分: 3

开设专业数学与应用数学

先修课程:数学分析(06100231)、高等代数(06100321

二、课程任务目标

(一)课程任务

(本项编写要求:写明该课程的性质和任务)

《概率论与数理统计》是数学系的一门重要的学科基础课程,它是从数量侧面研究随机现象规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速。概率论与数理统计是数学的一个有特色的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其它数学分支又有紧密的联系,它是近代数学的重要组成部分。本课程知识是其他后继专业课程如回归分析,随机过程,多元统计分析等的基础。 同时概率与数理统计的基本知识现已成为中学数学课程的一部分,从而它也成为中学数学教师必须掌握的基础知识。  

概率论与数理统计课程的任务是使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法,培养他们解决某些有关实际问题的能力。本科程内容分概率论与数理统计两部分,在教学中应充分注意两者之间的联系。充分重视基本概念,下功夫讲清统计思想。

(二)课程目标

(本项编写要求:写明学生在知识和能力方面应达到的目标要求)

在学完本课程之后,学生能够:

1.对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解;

2.联系实际问题,初步掌握处理不确定性事件的理论和方法;

3.能够了解大量实际问题的类型及与数理统计学的联系,具备使用常用的统计方法并结合利用概率论知识来解决一些实际问题的能力。

4.加深对中学数学的有关内容的理论认识,能够深入地掌握和熟练处理相关的中学数学教材,进一步提高中学数学教学质量。

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

(本项编写要求:以基本内容为主线,对各知识点分按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次提出要求,并说明教学重点及难点)

第一章 事件与概率
第一节  随机事件和样本空间

1.了解并理解随机现象、随机试验、随机事件、样本点、事件、事件域等概念;

2.理解事件间的关系和运算及其事件运算的性质。

第二节  概率与频率
1
.了解频率、频率的稳定性、概率及用频率估计概率

第三节  古典概率
1
.了解古典概率的特点,理解古典概型中事件的概率;

2.掌握几个重要的古典概型(模球模型包括放回与不放回两种情况.随机取样模型…)计算。

第四节  概率的公理化定义及概率的性质
1
.理解几何概率,理解概率的公理化定义;

2.掌握概率的性质。

第五节  条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

1.理解条件概率,掌握全概率公式和贝叶斯公式。

第六节  事件的独立性

1.理解事件的独立性。

第七节  贝努里概型

1.了解贝努里概型。

第二章 离散型随机变量
第一节  一维随机变量及其概率分布列
    1
.了解一维离散型随机变量的定义,理解概率分布列及其基本性质;

2.掌握0—1分布、二项分布、几何分布、Poisson分布及其它们之间的转换关系。

第二节  多维随机变量,联合概率分布列,随机变量的独立性

1.了解多维随机变量的概念,掌握二维随机变量的联合分布列、二维随机变量的边际分布及条

件分布,并会计算有关事件的概率

第三节  随机变量函数的分布列

1.掌握简单随机变量函数的概率分布求法。

第四节  数学期望的定义

1.理解数学期望的定义;

2.掌握几个重要的离散型随机变量的数学期望

第五节  方差的定义及其基本性质

1.理解方差的定义;

2.掌握几个重要的离散型随机变量的方差。

第六节  条件概率分布列与条件数学期望

1.理解条件概率分布列及条件数学期望。

第三章 连续型随机变量
第一节  随机变量及分布函数

1.理解随机变量的一般定义;

2.掌握分布函数及其基本性质。

第二节  连续型随机变量
1
.理解连续型随机变量的定义,掌握概率密度函数及其基本性质;

2.掌握常见的连续型随机变量的分布,如均匀分布、正态分布、指数分布。

第三节  多维随机变量及其分布
1
.理解联合概率密度函数、边际概率密度函数的概念并掌握它们的计算;

2.掌握随机变量的独立性。

第四节  随机变量函数的分布

1.了解随机变量函数及分布、 分布、 分布;

2.掌握独立随机变量和及商分布的求法。

第五节  随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式

1.掌握数学期望、方差、相关系数及它们的基本性质;

2.掌握几个常见的连续型随机变量的数学期望、方差和相关系数的求法及切比雪夫不等式。

第六节  条件分布与条件期望.回归与第二类回归
1
.理解条件分布、条件概率密度函数、条件数学期望、回归线性回归。

第七节  特征函数(*)  

1.掌握特征函数的定义及其性质及其逆转公式与唯一性定理;

2.掌握几个常见分布的特征函数。

第四章 大数定律与中心极限定理
第一节  大数定律
    1
.理解随机变量序列依概率收敛于某常数的概念;

2.掌握贝努里大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定律。

第二节  随机变量序列的两种收敛性

掌握依概率收敛、依分布收敛及两种收敛性间的关系。

第三节 中心极限定理

1.理解列维一林德贝尔格定理、德莫佛一拉普拉斯定理。

第四节  中心极限定理() *

1.了解林德贝尔格定理、李雅普诺夫定理。

第五章 数理统计的基本概念
第一节  母体与子样、经验分布函数
    1
.理解母体、子样、子样空间等概念及经验分布函数。

第二节  统计量及其分布
1
.了解抽样分布的定义,掌握子样均值、子样方差、K—阶矩、子样的K—阶中心矩。÷

第三节  次序统计量、次序统计量的分布
1
.了解次序统计量及次序统计量的分布。

第六章 点估计
第一节  矩法估计
    1
.掌握矩法估计;

2.理解一致估计、无偏估计。

第二节  极大似然估计
1
.理解极大似然估计的思想;

2.掌握极大似然函数、极大似然估计计量。

第三节  罗一克拉羌(Rao-Craner)不等式(*
1
.理解有效性、罗一克拉羌不等式、有效估计。

第七章  假设检验
第一节  假设检验的基本思想和概念。
    1
.理解原假设、备择假设、检验法则、临界域、第一类错误、拒真概率、第二类错误、受伪率、显著性检验、显著性水平。

第二节  参数假设检验。
1
.掌握检验、检验、检验。

第三节  正态母体参数的置信区间。
1
.掌握置信下限、置信上限及求置信区间的步骤。

第四节  非参数假设检验(*

1.理解概率图纸法、拟合检验法、柯尔莫哥洛夫拟合检验、-检验、两子样的秩和检验激动法。

第八章 方差分析和回归分析(*

第一节  方差分析
1
.掌握单因子方差分析、柯赫伦定理、二因子方差分无交互作用的方差分析模型、有交互作用的方差分析模型。

第二节  线性回归分析的数学模型。
1
.理解相关关系、P元线性回归模型、最小二乘估计、显著性检验。

第九章 数理统计的一些应用(*
第一节  质量管理
    1
.了解准备工作、质量控制图、X-R控制图、C控制图、P-控制图、np-控制图。

第二节  描样检查
1
.了解产品质量以母体的不合格p来的一次记数抽检方案。
2
.了解产品质量以母体均值a来表示的一次计量单检验方案。

第三节  正交试验设计法
1
.掌握正交试验设计法、正交表和交互作用表、不考虑交互作用的正交试验设计和数据处理、试验数据的统计分析、考虑交互作用的正交试验设计和数据处理

第四节  可靠性的统计分析方法
1
.理解可靠性数量特征和寿命分布、寿命试验中的参数估计方法、可靠性试验中的假设检验问题。
注:打(*)号内容可由教师选择是否讲授。

四、学时分配

(本项编写要求:按章节简要编写各教学环节的学时分配)

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章:事件与概率

6

2

第二章:离散型随机变量

8

2

第三章: 连续型随机变量

8

2

第四章: 大数定律与中心极限定理

4

1

第五章: 数理统计的基本概念

4

第六章: 点估计

6

2

第七章: 假设检验

5

1

第八章: 方差分析和回归分析(*

第九章: 数理统计的一些应用(*

   

41

10











五、考核说明

课程考试考核方法:闭卷考试:

总评=期末考试为主(70%)+期中考试(20%)+平时作业为辅(10%

六、主要教材及教学参考书目

(本项编写要求:写明教材及主要教学参考书目的编著者、书名、出版社、出版时间)

(一)主要教材

1.《概率论与数理统计教程》,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983

(二)主要参考书目

1.《概率论》,复旦大学编,人民教育出版社,1979年。

2.《概率论及数理统计》  梁之舜等编   高等教育出版社(1980)。

3.《概率论与数理统计教程》,华东师大数学系编,高等教育出版社

“数学建模”教学大纲

教研室主任:郑召文            执笔人:白玉真

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:数学建模

课程编号06101011

英文名称Mathematical Model

课程类型学科基础课

总 学 时51      理论学时:34   实验学时:17   课外学时:0

   分:3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:数学分析(06100231) 高等代数(06100321) 常微分方程(06100711

二、课程任务目标

(一)课程任务

数学模型课程是数学与应用数学专业的必修课,是学科基础课程之一, 主要讲授如何应用数学知识将实际问题翻译成数学问题,以及数学求解的结果如何翻译回到实际中去。

(二)课程目标

通过该课程的学习,要使学生系统地获得数学建模的基本知识、基本理论和方法,培养和训练学生的数学建模素质;引导学生思考数学与科学、数学与现实之间的关系,培养学生用数学方法解决实际问题的能力,培养学生的动手能力和创新精神。

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

1章 建立数学模型  

1.1 从现实对象到数学模型

1.2 数学建模的重要意义

1.3 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗

1.4 建模示例之二 商人们怎样安全过河

1.5 建模示例之三 如何预报人口的增长

1.6 数学建模的基本方法和步骤

1.7 数学模型的特点和分类

1.8 数学建模能力的培养

本章教学重点和难点

重点:数学模型与数学建模

难点:数学建模的基本方法和步骤

本章教学基本要求

1. 了解数学模型与数学建模过程;

2. 理解数学建模的基本方法和步骤;

3. 掌握几个简单的智力问题模型。

第二章 初等模型  

2.1 公平的席位分配

2.4 汽车刹车距离

2.5 划艇比赛的成绩

2.7 实物交换

2.8 核军备竞赛

2.10 量纲分析和无量纲化

本章教学重点和难点

重点:初等方法建模的思想与方法

难点:初等方法建模的思想与方法

本章教学基本要求

1. 掌握Q值法和d’Hondt方法;

2. 掌握类比法和比例法进行数学建模;

3. 理解无差别曲线的特点,掌握无差别曲线进行数学建模。

第三章 简单的优化模型  

3.1存贮模型

3.4最优价格

3.6 消费者的选择

3.7 冰山运输

本章教学重点和难点

重点:存贮模型

难点:存贮模型

本章教学基本要求

1. 了解优化模型的建模建立思想;

2. 理解优化模型的一般意义;

3. 掌握优化模型求解方法;

4. 能够解决简单的经济批量问题和连续问题模型。

第五章 微分方程模型  

5.1 传染病模型

5.2 经济增长模型

5.3 正规战与游击战

5.4 药物在体内的分布与排除

5.6 人口的预测和控制

5.7 烟雾的扩散与消失

本章教学重点和难点

重点:微分方程方法建模

难点:微分方程方法建模。

本章教学基本要求

1. 掌握微分方程建模的基本方法;

2. 掌握用数值方法求解微分方程的方法。

第六章 稳定性模型  

6.1 捕鱼业的持续收获

6.2 军备竞赛

6.3 种群的相互竞争

6.4 种群的相互依存

6.5 食饵-捕食者模型

本章教学重点和难点

重点:微分方程平衡点的稳定性分析

难点:微分方程定性与稳定性理论

本章教学基本要求

1. 掌握利用变化关系建立微分方程模型;

2. 掌握利用微分方程定性与稳定性理论分析变化趋势;

3. 掌握两个种群的三种不同的关系模型。

第七章 差分方程模型  

7.1 市场经济中的蛛网模型

7.3 差分形式的阻滞增长模型

7.4 按年龄分组的种群增长

本章教学重点和难点

重点:差分方程平衡点的稳定性分析

难点:差分方程的稳定性理论

本章教学基本要求

1. 了解差分法基本理论;

2. 深刻理解差分法基本特点;

3. 熟练掌握差分法建模方法。

第八章 离散模型  

8.1 层次分析模型

8.2 循环比赛的名次

8.4 效益的合理分配

本章教学重点和难点

重点:层次分析法建模

难点:层次分析法建模

本章教学基本要求

1. 理解层次分析法建模的基本特点;

2. 掌握层次分析法建模的基本方法;

3. 掌握竞赛图及其性质;

4. 掌握效益合理分配的Shapley值方法。

第九章 概率模型  

9.2 报童的诀窍

9.3 随机存贮策略

9.5 随机人口模型

本章教学重点和难点

重点:概率方法建模

难点:随机变量和随机分布概念的灵活应用

本章教学基本要求

1. 掌握简单的随机模型的建模方法;

2. 了解概率分布、期望、方差等知识在建模问题中的应用。

第十章 统计回归模型  

10.1 牙膏的销售量

10.3 酶促反应

10.5 教学评估

本章教学重点和难点

重点:统计回归建模的基本思路和方法

难点:统计回归模型的建立

本章教学基本要求

1. 掌握统计回归建模的基本方法;

2. 了解统计回归模型在实际工作中的应用。

第十一章 马氏链模型  

11.1 健康与疾病

11.3 基因遗传

本章教学重点和难点

重点:马氏链模型的建立

难点:状态转移概率矩阵

本章教学基本要求

1. 掌握马氏链模型建立的方法;

2. 掌握正则链和吸收链的特点和性质;

3. 了解马氏链模型的广泛应用。

(二)实践教学的内容及要求

1. Matlab 入门

 1.1 变量与函数

 1.2 数组

 1.3 矩阵

 1.4 Matlab 编程

 1.5 实验作业

教学重点和难点

重点:Matlab 编程

难点:Matlab 编程

教学基本要求

  1. 了解Matlab的各种命令;

2. 掌握Matlab 编程的方法和步骤。

2. 优化模型

2.1 优化问题的基本思想和基本算法

2.2 Matlab 优化工具箱

2.3 Matlab求解优化问题

2.4 实验作业

教学重点和难点

重点:Matlab 优化工具箱

难点:用Matlab求解优化问题

教学基本要求

  1. 了解优化问题的基本思想和基本算法;

2. 掌握用Matlab求解优化问题。

3. 微分方程

3.1  求简单的微分方程的解析解

3.2  求微分方程的数值解

3.3  实验作业

教学重点和难点

重点:用Matlab 求微分方程的解析解和数值解

难点:用Matlab 求微分方程的解析解和数值解

教学基本要求

  1. 学会用Matlab 求简单微分方程的解析解;

2. 学会用Matlab 求微分方程的数值解。

4. 计算机模拟

4.1  模拟的概念

4.2  计算机模拟实例

4.3  实验作业

教学重点和难点

重点:计算机模拟的基本过程和方法

难点:计算机模拟的基本过程和方法

教学基本要求

1. 掌握计算机模拟的基本过程和方法。

5. 回归分析

5.1  回归分析的基本理论

5.2  求解回归分析问题

5.3  实验作业

教学重点和难点

重点:求解回归问题的步骤和方法

难点:求解回归问题的步骤和方法

教学基本要求

  1. 了解回归分析的基本内容;

2. 掌握用数学软件求解回归分析问题。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

1章: 建立数学模型

5

3

1

1

2章:初等模型

6

3

2

1

3章:简单的优化模型

6

3

2

1

5章:微分方程模型

6

3

2

1

6章:稳定性模型

5

3

1

1

7章:差分方程模型

5

3

2

8章:离散模型

5

2

2

1

9章:概率模型

5

2

2

1

10章:统计回归模型

3

2

1

11章:马氏链模型

5

2

2

1

 

51

26

17

8











五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合;期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、课程论文等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+课程论文成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.姜启源等编《数学模型》(第三版), 高等教育出版社,2003.

(二)主要参考书目

1. 雷功炎编著《数学模型讲义》,北京大学出版社,1999.

2. 杨启帆主编《数学建模》,高等教育出版社,2005.

3. 赵静, 但琪,《数学建模与数学实验》(第二版), 高等教育出版社, 2004.

抽象代数”教学大纲

教研室主任:王培合            执笔人:高凤霞、孙宝芝

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:抽象代数

课程编号 06101312

英文名称Abstract Algebra

课程类型专业方向限选课

总 学 时51      理论学时:51  实验学时:0   课外学时:0

   分:3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:高等代数06100321

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是一门数学专业本科生重要的后继课,也是研究生的基础课。其主要任务是传授给学生代数思想方法及群、环、域的基本知识。《抽象代数》是数学学科基础课《高等代数》的后继课,它为学生继续学习与研究代数提供了足够的基础知识并充分展示了代数学的思维特点。通过本课程的学习,应使学生掌握群、环、域等基本概念、性质及一些经典结论,最重要的是,使学生能够灵活运用代数学思维方法和技巧。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1. 对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识,抽象思维、逻辑推理和运算的能力有所提高;

2. 获得一定的抽象代数的基础知识, 受到代数方法的初步训练, 为进一步学习代数后继课程打下基础;

3. 能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

第一章  

第一节 等价关系与集合的分类

1了解商集的概念;

2理解等价关系与集合的分类的定义;

3掌握二者之间的关系;

第二节 群的概念;

1了解代数运算和群的一些例子;

2理解群的定义与群中单位元、可逆元的意义;

3掌握群的等价定义;

第三节 子群;

1了解子群的定义以及子群的运算性质;

2理解子群的等价定义和生成子群的构成;

3掌握子群的判断方法。

第四节. 群的同构;

1了解对称群的定义;

2理解群同构的定义和凯莱定理;

3掌握判断两个群同构的方法。

第五节; 循环群

1了解循环群以及生成元的定义:

2理解群中元素阶的定义;

3掌握循环群的子群与结构定理。

第六节. 置换群与对称群

1了解特殊n阶置换的定义;

2理解   n次对称群的定义与排列的关系;

3掌握把任意n阶置换表示成特殊置换的方法。

第七节 置换在对称变换群中的应用(本节为选学内容)

1了解对称变换群的定义;

2理解二面体群的定义;

3掌握某些对称变换群的求法。

   第二章 群的进一步讨论

子群的陪集

1了解群中子集运算的性质和子群指数的定义,

2理解左右陪集的定义与性质以及;拉格朗日定理的内容;

3掌握拉格朗日定理在有限群分类中的应用。

正规子群与商群

1了解群的正规子群和单群的定义;

2理解正规子群的等价定义和商群的定义方法;

3掌握正规子群的判别方法。

群的同态和同态基本定理

1了解几个群同态的例子;

2理解群同态的定义与相关性质;

3掌握群同态基本定理并用之判断群之间的关系。

第四节  群的直积

1了解卡氏积的定义;

2理解群的内外直积的定义;

3掌握内外直积的性质与关系。

第五节群在集合上的作用

1了解特殊的群作用和稳定子;

2理解群作用的定义和不动元的定义;

3掌握有限群的类方程及其应用。

第六节. 西罗定理

1了解P群和的定义Sylow P子群的定义;

2理解P群和的定义Sylow P子群的定义;

3掌握掌握 Sylow 定理,并利用Sylow定理判断有限群的正规子群的情况。

第三章 环

第一节. 环的定义与基本性质

1了解特殊环以及单位元可逆元的定义;

2理解环和子环的定义,环与群之间的关系;

3掌握环中元素的运算性质和子环的判定

第二节 整环 域与除环

1了解环中零因子的概念和四元数体的构造;

2理解除环和域的定义;

3掌握整环定义和除环域的判别方法。

第三节 理想与商环

1了解特殊环中理想子环的构成;

2理解理想子环主理想子环的定义与元素形式以及商环的定义;

3掌握主理想子环的判别方法和商环的性质。

第四节 素理想与极大理想

1了解几类特殊环的素理想和极大理想;

2理解素理想和极大理想的关系;

3掌握素理想与极大理想的判别方法和关系。

环的同态

1了解几类特殊的环同态;

2理解环同态的定义以及与群同态的关系‘

3掌握环同态基本定理以及其与群同态基本定理的关系。

第六节. 环的特征与素域

1了解几类特殊环的特征;

2理解环的特征数的定义以及与加群中元素阶的关系;

3掌握整环以及域的特征数;

第四章 环的进一步讨论

第一节 多项式环

1了解未定元和形式幂级数环的定义;

2理解多项式环的定义和多项式的次数;

3掌握环与其上一元多项式环的关系。

第二节 整环的商域

1了解交换的无零因子环与域的关系;

2理解整环商域的构成和环的扩张定理的应用;

3掌握比较简单的整环的商域的求法。

第三节 唯一分解整环

1了解整环元素整除的定义了解单位、相伴元、真因子、素元 不可约元的定义以及之间的关系;

2理解唯一分解环的定义和性质;

3掌握唯一分解整环的判别方法;

第四节 主理想整环与欧几里得整环

1了解欧几里得算法;

2理解主理想整环、欧氏环的定义;

3掌握与主理想整环、欧氏环唯一分解整环相关的定理。

第五节 唯一分解整环上的多项式环

1了解本原多项式的概念;

2理解本原多项式的性质;

3掌握整环上的多项式环和其商域上多项式环的关系。

第五章 域的扩张

第一节 向量空间

1了解域上向量空间的分类;

2理解域上向量空间的定义子空间以及元素线性相关和无关的定义;

3掌握向量空间基的求法和维数的不变性。

第二节 扩域

1了解域论基本定理;

2理解扩域和单扩张的定义;

3掌握某些域的单扩域的构造。

第三节 多项式的分裂域

1了解多项式分裂域的存在性;

2理解分裂域的定义和同构意义下的唯一性;

3掌握一些特定多项式分裂域的求法。

第四节 代数扩张

1了解代数元和超越元的定义;

2理解最小多项式 有限扩张 无限扩张以及本原元的定义;

3掌握代数扩张的次数及其性质。

第五节 有限域

1了解有限域阶的性质;

2 理解有限域的唯一性和主要性质;

3掌握有限域的子域构成以及与有限循环群的子群构造相比较。

(二)实践教学的内容及要求(无)

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章:群

12

8

4

第二章:群的进一步讨论

11

8

3

第三章:环

11

8

3

第四章:环的进一步讨论

9

6

3

第五章:域的扩张

8

6

2

 

51

36

15











五、考核说明

本课程采用期末考试与平时测评相结合;期末考试为闭卷考试,考试时间为120分钟;平时测评包括作业、期中考核等。学生修完本课程并参加考试后,其成绩的评定为:期末考试成绩(70%+作业成绩(10%+期中考核成绩(20%)。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.韩士安,林磊著《近世代数》,高等教育出版社,2004年。

(二)主要参考书目

1 姚慕生著《抽象代数学》,复旦大学出版社,1999

 2.朱平天等著《近世代数》,科学出版社,2001年。

微分几何教学大纲

教研室主任:王培合            执笔人:王培合

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:微分几何

课程编号06101412

英文名称Differential Geometry

课程类型专业方向限选课

总 学 时51  理论学时:51  实验学时:0   课外学时:0

   分:3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:解析几何(06100111

二、课程任务目标

(一)课程任务

《微分几何》作为大学数学的主要学科基础课程之一,是大学高等数学的主要组成部分。它对数学专业的学生数学修养的构建以及后继课程的学习有重要而深刻的影响,它所提供的数学思想和研究方法是独特而深刻的。

《微分几何》主要是利用向量代数来研究空间的两种几何对象—曲线和曲面。本课程主要任务就是在研究空间这两种基本几何对象的基础上,掌握了解初等局部微分几何的主要研究内容和研究方法,综合代数和分析的研究手段,对空间形式的性质给予充分的理解把握。另外,构建良好的空间想象能力也是本课程的主要任务之一。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.熟练三维欧氏空间中向量代数的各种运算;

2.掌握空间中一维几何对象——曲线的相关概念及其Frenet标架及其运动方程;

3.掌握利用Frenet标架及其运动方程解决特殊曲线的方法;

4.掌握空间二维几何对象—曲面的相关概念,理解曲面的各种曲率及其相互关系;

5.掌握曲面的内蕴几何性质和对象。

三、教学内容和要求

第一章  欧氏空间

第一节  向量空间

1.  理解矢量的有关概念,掌握向量分析的各种运算;

2. 理解场论的相关概念和计算及其物理几何意义。

第二节  欧氏空间;

理解矢量的运算;

初步掌握坐标和坐标变换,掌握合同变换的定义及其形式;3

理解正交标架和合同变换群的关系。

本章的重点是合同变换的形式以及坐标变换。

本章的难点是场论的物理意义和正交标架与合同变换群的关系。

第二章  轨迹与方程

第一节  曲线的概念

1.  理解曲线的概念;

2.  掌握正则曲线的定义及其几何意义;

3.  了解几种曲线的方程表现形式。

第二节  平面曲线

1.  理解平面曲线的弧长、弧长参数及其特征、切线及其方程;

2.  掌握平面曲线的Frenet标架和其运动方程,掌握曲率计算。

第三节  空间中的曲线

1.  理解空间曲线的相关概念;

2.  掌握空间曲线的Frenet标架及其运动方程,掌握空间曲线的曲率和挠率的几何意义及其性质;

3.   理解曲线在一点附近的形状及其研究方法。

第四节  曲线论基本定理

1.  掌握空间曲线的基本定理及其意义;

2.  了解曲线在合同变换之下的不变量;

3.  了解分析方法在几何中的应用。

本章的重点是曲线的曲率和挠率以及Frenet标架的运动方程。

本章难点是曲线论基本定理及其曲线在一点的形状。

第三章  曲面的局部理论

第一节  曲面的概念

1.  理解正则曲面的概念;

2.  掌握曲面的参数表示及其参数变换;

3.  掌握切平面和法向的定义和在正则参数变换之下的变化规律。

第二节  曲面的第一基本形式

1.  理解曲面的第一基本形式的定义和几何意义;

2.  掌握曲面的第一基本形式和参数选择无关及其桌子合同变换之下的变化情况;

3.  掌握曲面的第一基本形式的求法。

第三节  曲面的第二基本形式

1.  理解定义及其几何意义,了解其表现形式并掌握其计算;

2.  掌握曲面上点的分类及其第二基本形式在合同变换之下的变化情况。

第四节 法曲率和Weigarten变换

1.  理解法曲率的定义及其几何意义和计算,了解曲面上点的分类;

2.  掌握Weigarten变换的定义及其性质和表达式;

3.  掌握Weigarten变换的性质和其与法曲率的密切关系。

第五节  主曲率和Gauss曲率

1.  掌握主曲率、平均曲率和Gauss曲率的定义;

2.  掌握Weigarten变换的在自然标架之下的矩阵表示;

3.  掌握Euler公式,了解曲面在一点附近的形状;

4.  掌握Gauss映射及其几何意义。

第六节  曲面的一些例子

1.  了解旋转曲面中常Gauss曲率和平均曲率的例子;

2.  掌握可展曲面的定义及其性质和分类;

3.  掌握全脐曲面得分类。

本章的重点包括曲面的参数表示及其切平面的定义,曲面的第一第二基本形式和各种曲率。

本章的难点是Weigarten变换及其性质,可展曲面的分类和全脐曲面的分来。

第四章  标架与曲面论基本定理

第一节  活动标架

1.  了解活动标架的基本思想;

2.  了解活动标架解决问题的一般方法。

第二节  自然标架的运动方程

1.  了解并掌握曲面上的张量记号;

2.  掌握曲面上自然标架的运动方程;

3.  掌握Christoffel记号的求法。

第三节  曲面的结构方程

1.  了解曲面的结构方程的推导;

2.  掌握曲面结构的三个方程;

第四节  曲面的存在惟一性定理

1.  理解曲面论基本定理的提出和条件;

2.  了解曲面论基本定理的证明;

3.  了解分析工具在解决几何问题中的应用。

第五节 正交活动标架

1.  掌握曲面的正交标架之的运动方程和结构方程;

2.  理解曲面的第一第二基本形式在正交标架之下的变化情况;

3.  掌握在自然标架和正交标架之下两基本形式的相互联系。

第六节  曲面的结构方程(外微分法)

1.  了解外微分形式及其计算;

2.  掌握利用外微分进行曲面的结构方程以及曲面性质研究;

3.  了解外微分的本质。

本章的重点是利用活动标架进行曲面的性质研究。

本章的难点张量计算和活动标架研究方法的思想实质。

第五章 曲面的内蕴几何学

第一节  曲面的等距变换

1.  掌握曲面变换的坐标表示;

2.  掌握等距变换的三种刻划,掌握切映射的概念和几何意义及其公式表示;

3.  掌握保形变换的三种刻划及其和等距变换的关系;

4.  了解曲面在局部上等温参数的存在性。

第二节  曲面的协变微分

1.  理解曲面和平面的在平移上的不同;

2.  掌握联络形式的定义及其协变微分的定义;

3.  掌握向量沿曲线的平移及其性质。

第三节  测地曲率与测地线

1.  掌握测地曲率的定义及其与曲线的曲率和法曲率的关系;

2.  掌握Liouville公式;

3.  掌握测地线的定义和性质及其几何意义。

第四节  测地坐标系

1.  掌握测地平行坐标系的定义和性质;

2.  掌握指数映射的定义及其几何意义;

3.  掌握法坐标系和测地极坐标系的定义和性质;

4.  理解常高斯曲率曲面局部上的第一基本形式的特点。  

第五节 Guass-Bonnet公式

1.  理解Guass-Bonnet公式的推导和证明;

2.  掌握Guass-Bonnet公式的各种应用;

3.  掌握平移角差产生的原因和公式表示。            

本章的重点是曲面的协变微分、向量的平行移动、测地曲率和测地线以及Guass-Bonnet公式。

本章的难点是协变微分和平行移动。

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章 欧氏空间

4

4

第二章 曲线的局部理论

8

6

2

第三章 曲面的局部理论

12

10

2

第四章 标架与曲面论基本定理

14

12

2

第五章 曲面的内蕴几何学

15

11

4

 

51

43

8

五、考核说明

本课程采用闭卷考试,成绩评定采用百分制,计算方法为期末总评成绩=期末考试成绩*70%+期中考试成绩*20%+平时成绩,其中平时成绩采取10分制,包括课堂表现和作业成绩。期末总评成绩不低于60分为及格。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1. 彭家贵等     《微分几何》            高等教育出版社         2002

   (二)主要参考书目

1.  陈维桓   《微分几何初步》         北京大学出版社         2006

2. W. Klingenberg  A Course in Differential Geometry Springer-Verlag               2000

“实变函数论”教学大纲

教研室主任:张克梅        执笔人:刘树冬

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:实变函数论

课程编号06101512,

英文名称Theory on Real Variable Functions  

课程类型专业方向限选课

总 学 时51      理论学时:51 实验学时:0   课外学时:0

   分:3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:数学分析(06100231

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程是一门数学与应用数学专业基础必修课程。本课程的任务是使学生从本质上把握Lebesgue测度与积分,掌握Lebesgue测度与积分的基本性质,理解Lebesgue积分在可积函数类,极限交换次序及微积分基本定理等方面相对于Riemann积分的优越性,培养学生分析解决数学问题的能力,提高学生的数学素养。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.掌握Lebesgue测度与积分的定义及基本性质;

2.理解Lebesgue积分在可积函数类,极限交换次序及微积分基本定理等方面相对于Riemann积分的优越性,加深对数学分析的理解;

3.利用有关知识解决一定数量的习题;

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

引言

1.理解Riemann积分的局限性;

2.了解Lebesgue积分的初步思想。

第一章  集合

§1.1  集合 集合的运算

1.了解集合的定义,掌握集合的运算规律。

§1.2  映射 集合的对等

1.了解映射的定义及基本性质;

2.理解集合对等的概念,掌握Bernstein定理;

3Bernstein定理是本节的重点,也是难点。

§1.3 可列集与不可列集 集合的基数

1.了解可列集与不可列集的定义。

2.理解集合的基数的定义,这是本节的重点,也是难点。

§1.4 可列集的判定

1.了解可列集的几个常见例子;

2.掌握可列集的判断方法。

§1.5 连续势集的判断

1.了解连续势集的几个常见例子;

2.掌握连续势集的判断方法。

第二章 点集

§2.1 空间 区间 距离

了解空间及区间的定义;

2.理解距离,邻域及极限的定义,这是本节的重点;

3.掌握BolzanoWeierstrass定理,这是本节的难点。

§2.2 内点与开集

理解内点,外点及边界点的定义;

理解开集的定义及性质,这是本节的重点。

§2.3 聚点与闭集

理解聚点与孤立点的定义,这是本节的难点;

2.理解闭集的定义,掌握闭集与开集的对偶关系,这是本节的重点。

§2.4 开集和闭集的构造

1.理解并掌握中开集与闭集的构造,这是本节的重点,也是难点;

2.了解中开集与闭集的构造。

§2.5 点集间的距离 有界闭集的性质

1.了解点集间的距离的定义及性质;

2.理解并掌握Borel有限覆盖定理,这是本节的重点,也是难点。

§2.6 完备集  Cantor

1.理解完备集及自密集的定义;

2.理解并掌握Cantor集的构造方法及性质。

第三章 测度

§3.1 引言

1.了解Jordan可测集的定义。

§3.2 Lebesgue外测度

1.理解并掌握Lebesgue外测度的定义及性质;

2.了解外测度的开集逼近。

§3.3 有界的Lebesgue可测集

1.理解并掌握有界Lebesgue可测集的定义;

2.了解开集与闭集的可测性;

3.理解并掌握有界可测集的运算性质,这是本节的重点,也是难点。

§3.4 无界的Lebesgue可测集

1.理解并掌握可测集的定义及运算性质,这是本节的重点;

2.理解并掌握可测集的构造,这是本节的难点;

3.了解常见的可测集的例子。

§3.5 不可测集的例

1.了解不可测集的构造方法。

§3.6 集合的乘积

1.了解集合的乘积的定义;

2.理解并掌握乘积集的测度的运算规律,这是本节的重点。

第四章 可测函数

§4.1 广义实函数及相关的集合

1.了解广义实函数的定义;

2.理解并掌握下方图形及特征函数的定义

§4.2 Lebesgue可测函数的定义

1.理解并掌握可测函数的定义及性质。

§4.3 可测函数与简单函数

1.了解简单函数的定义及运算性质;

2.理解并掌握简单函数与可测函数的关系,这是本节的重点,也是难点。

§4.4 可测函数的某些性质

1.理解并掌握可测函数的一些重要性质。

§4.5 Egoroff定理

1.理解并掌握Egoroff定理及其证明,这是本节的重点,也是难点。

§4.6 可测函数列的依测度收敛

1.理解依测度收敛的定义;

2.理解并掌握Lebesgue定理及Riesz定理,这是本节的重点,也是难点。

§4.7 可测函数与连续函数

1.了解连续函数的定义及性质;

2.理解并掌握Lusin定理及其证明,这是本节的重点,也是难点;

3.了解Lusin定理的其他形式。

第五章 可测函数的积分

§5.1 Lebesgue积分的定义及初等性质

1.理解并掌握可测函数的积分的定义过程,这是本节的重点;

2.了解积分的初等性质;

3.理解并掌握积分的绝对连续性。

§5.2 Lebesgue积分与Riemann积分的关系

1.理解并掌握二者的关系。

§5.3 逐项积分定理

1.理解并掌握Levi定理,Fatou引理,Lebesgue控制收敛定理,这是本节的重点,也是难点;

2.了解Lebesgue积分在处理极限交换问题上的相对于Riemann积分的优越性。

§5.4 Fubini定理

1.了解截面定理;

2.理解并掌握Fubini定理,这是本节的重点,也是难点;

3.了解Lebesgue积分在处理积分次序交换问题上的相对于Riemann积分的优越性。

§5.5 p幂可积函数

1.了解p幂可积函数的定义及性质。

第六章 微分与Lebesgue不定积分 RiemannStieltjes积分

§6.1 单调函数的微分性质

1.了解Vitali覆盖定理;

2.理解并掌握单调函数的微分性质,这是本节的重点,也是难点。

§6.2 有界变差函数

1.了解可求长曲线的定义;

2.理解并掌握有界变差函数的定义及性质,这是本节的重点。

§6.3 绝对连续函数与Lebesgue不定积分

1.理解绝对连续函数的定义及性质;

2.掌握不定积分与微分的关系,这是本节的重点;

3.了解Lebesgue积分的分部积分公式与换元积分公式。

§6.4 RiemannStietjes积分

1.了解RS积分的定义及性质;

2.理解连续函数关于有界变差函数的RS积分。

(二)实践教学的内容及要求

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

引言

2

2

第一章:集合

6

4

2

第二章:点集

8

6

2

第三章:测度

10

8

2

第四章:可测函数

8

6

2

第五章:可测函数的积分

10

8

2

第六章:微分与Lebesgue不定积分 RiemannStieltjes积分

7

5

2

 

51

39

12











五、考核说明

考核办法:闭卷。

成绩评定办法:总成绩=平时成绩×10%+期中考试成绩×20%+期末考试成绩×70%。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.郭大钧等《实变函数与泛函分析(上)》,山东大学出版社,2004年。

   (二)主要参考书目

1.程其襄等《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年。

2.江泽坚等《实变函数论》,高等教育出版社,1994年。

复变函数教学大纲

教研室主任:张克梅            执笔人:李傅山

一、课程基本信息

开课单位:数学科学学院

课程名称:复变函数

课程编号06101612

英文名称Complex Analysis

课程类型专业必修课

总 学 时51      理论学时:51  实验学时:0   课外学时:0

   分:3

开设专业:数学与应用数学

先修课程:数学分析(06100231

二、课程任务目标

(一)  课程任务

《复变函数》是一门重要的数学基础课,它不仅是《数学分析》的后续课程,而且也与其他

数学分支有着密切的关系,同时在其它自然科学方面(如电磁学、流体学、理论物理等)有着广泛的应用。通过本课程的学习,使学生掌握复变函数的基本理论和方法,培养学生具有较强的分析问题和解决问题的能力,为学生将来能将复变函数的思想和方法灵活应用到理论研究和应用中去打下良好的专业基础。

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1.通过对复变函数的学习,使学生掌握复变函数的基本知识和基本理论,了解它在自然科学

等方面的一些应用。

2.在学习数学分析的基础上,将实函数和复变函数比较学习,从而使学生对分析学有更完整

系统的认识和掌握。

3.通过对复变函数的学习,使学生对中学数学的有关内容如初等函数、代数基本定理等有更

深的理解。

三、教学内容和要求

第一章  复数与复变函数

第一节  复数

1. 掌握复数的定义性质、复数的表示方法及复数的四则运算;

2.理解复数在几何中的应用。

第二节 复平面上的点集

1. 理解平面点集的几个概念、等价描述及相互关系;

2. 理解连续曲线、Jordan曲线、光滑曲线的概念、 Jordan定理和区域的定义。

第四节   复变函数

1. 理解复变函数、极限、连续、一致连续的定义及连续函数的性质;

2. 了解复变函数和实函数的区别与联系。

第四节  复球面与无穷远点

1. 了解什么是扩充复平面及无穷远点来源。

本章重点实掌握关于共轭复数的一些等式;关于模的等式与不等式;复数的不同表示形式并善于根据不同问题选用适当的表示;复数的乘、除、乘方、开方运算; 三点共线的条件,实数方程化成复数方程;充分理解入变换、满变换和一一变换;复函数极限的等价刻画;扩充复平面上一些性质及广义极限、广义连续.

第二章  解析函数

第一节  解析函数的概念与Cauchy-Riemann 条件

1. 理解解析函数的概念及性质,弄清解析、连续、可微的关系;

2.掌握判定函数解析的充要条件、充分条件和必要条件;

3.掌握判断一个函数是否可微或解析。

第二节 初等解析函数

1.掌握几个初等复函数的定义及性质;

3.理解函数在实数域和复数域的区别与联系。

第三节  初等多值函数

1.理解复函数具有多值性的原因;

2. 掌握应用限制幅角或割破平面来确定其单值解析分支;

3. 掌握利用一点来确定分支,然后求另外一点的值。

本章的重点是解析函数的刻画,熟练判定函数的解析性与可微性;熟练掌握几个初等函数的性质及与实函数的区别与连续;理解复函数产生多值的原因,确定单值解析分支的方法,掌握求多值函数在某一点的值.

第三章  复变函数的积分

第一节  复积分的概念及其简单性质

1.理解复积分的定义和基本性质,会利用定义和定理求复积分;

2.理解实积分和复积分的区别联系.

第二节  Cauchy积分定理

1.理解柯西积分定理及其几种推广的条件和结论;

2. 理解积分定理的证明思想;

3. 掌握运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式等求复积分。

第三节 Cauchy积分公式及其推论

1.掌握Cauchy积分公式及其证明;

2.掌握Cauchy不等式及Liouville定理、代数基本定理及其证明;

3.理解解析函数无穷阶可微的性质;

4.掌握Morera定理、证明及其简单应用。

第四节  解析函数与调和函数的关系

1.掌握调和函数的定义、调和函数与解析函数的关系;

2.掌握已知解析函数的实部(虚部)来求虚部(实部),从而可求得一个解析函数的方法。

第五节 平面向量场――解析函数的应用

1.了解平面向量场的几个概念。

本章的重点是在复积分的基础上对积分定理和积分公式的深刻理解和掌握;运用它们证明 Liouville定理、代数基本定理及Morera定理,并掌握这些定理的应用;掌握调和函数和解析函数的关系,掌握已知解析函数的实部(虚部)来求虚部(实部),从而可求得一个解析函数的方法。

第四章  解析函数的幂级数表示法

第一节 复级数的基本性质

1.理解复数项级数收敛性判定及几种收敛概念与相互关系,理解函数项级数一致收敛的性质;

2. 掌握Weierstrass定理。

第二节  幂级数

1.掌握幂级数收敛半径的求法即幂级数在收敛圆周上的了敛散性;

2.掌握幂级数和函数的解析性质。

第三节 解析函数的Taylor展式

1.理解Taylor定理及证明思想;

2.掌握幂级数的和函数在收敛圆周上的性质;

3.掌握求一些初等函数的Taylor展式的方法。

第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理

1.掌握解析函数零点的判定方法;

2.掌握解析函数零点的孤立性定理、唯一性定理、最大(最小)模定理及它们的证明;

3.掌握解析函数零点的孤立性定理、唯一性定理、最大(最小)模定理的应用。

本章的主要内容是以级数理论为工具,研究解析函数的性质. 重点掌握Weierstrass定理、

解析函数零点的孤立性定理、唯一性定理、最大(最小)模定理及它们应用.

第五章  解析函数的Laurent展式

第一节  解析函数的Laurent展式

1.了解双边幂级数的概念及双边幂级数在收敛圆环内的性质;

2. 理解Laurent定理及证明思想,理解 Laurent 级数与Taylor级数的关系;

3. 掌握解析函数在孤立奇点邻域内的Laurent展开.

第二节 解析函数的孤立奇点

1. 掌握孤立奇点的分类与判定方法;

2. 理解本质奇点的性质,掌握Weierstrass定理,理解Picard定理;

3. 掌握Schwarz引理及其证明方法.

第三节  解析函数在无穷远点的性质

1. 理解无穷远点是孤立奇点的定义;

2. 理解无穷远点奇点类型的判定方法。

第四节  整函数与亚纯函数的概念

1. 理解亚纯函数的概念;

2. 掌握整函数的性质定理、函数为有理函数的充要条件。

第五节  平面向量场-解析函数的应用

1. 了解奇点在平面向量场中的应用。

第六章  残数理论及其应用

第一节  留数

1.  掌握留数的定义(包括有限点和无穷点),留数的求法;

2.  掌握留数定理及应用留数定理计算复积分;

3. 了解含无穷点区域的留数定理。

第二节  用残数定理计算实积分

1.  掌握应用留数定理计算四种实积分的方法;

2.  了解几种特殊实积分的计算及其意义。

第二节 辐角原理及其应用

1.掌握对数留数、辐角原理及其应用;

2.掌握Rouche 定理及其应用;

3.掌握单叶解析函数的性质。

本章的主要内容是有限点留数的概念和留数定理;有限奇点处留数的求法;无穷点处留数的概念和计算方法; 用留数定理计算实积分(包括积分路径上有奇点的广义积分);零点与极点个数定理;辐角原理及其应用;Rouche定理及其应用。  

 第七章 保形变换

第一节 解析变换的特性

1.掌握解析变换的性质(保域性、保角)

2. 理解单叶解析变换的共形性。

      第二节 分式线性变换

      1. 理解分式线性变换及其分解;

      2. 理解分式线性变换的性质(共形性、保交比、保圆性、保对称点性);

      3. 掌握分式线性变换的应用。

第三节  某些初等函数构成的保形变换

1. 掌握幂函数与根式函数,指数函数与对数函数的几何意义,并根据其求某些特殊的保形变换;

2.理解儒可夫斯基函数的单叶性区域。

第四节 关于保形变换的Riemann存在定理和边界对应定理

1. 理解Riemann存在与唯一性定理;

2. 了解和边界对应定理。

本章的主要内容是解析变换的保域性、保角性,单叶解析变换的保形性; 线性变换的性质及其应用;某些初等函数构成的保形变换及其作用;充分理Riemann 定义及其重要意义,充分了解别界对应定理.

四、学时分配

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章 复数与复变函数

5

4

1

第二章 解析函数

7

6

1

第三章 复变函数的积分

10

8

2

第四章 解析函数的幂级数表示法

8

6

2

第五章 解析函数的Laurent展式与孤立奇点

8

6

2

第六章 留数定理及其应用

7

6

1

第七章 共形映射

6

5

1

 

51

41

10

五、考核说明

本课程采用闭卷考试,成绩评定采用百分制,计算方法为期末总评成绩=期末考试成绩*70%+期中考试成绩*20%+平时成绩,其中平时成绩采取10分制,包括课堂表现和作业成绩。期末总评成绩不低于60分为及格。

六、主要教材及教学参考书目

(一)主要教材

1.钟玉泉     《复变函数论》(第三版)    高等教育出版社    2003

   (二)主要参考书目

1. 庄圻泰 张南岳 《复变函数》, 北京大学出版社,1984.

2. 普里瓦洛夫,《复变函数》,人民教育出版,1965

3. 余家荣,《复变函数》,武汉大学出版社,1987

“中学数学解题研究”教学大纲

教研室主任:冯振举           执笔人:李荣

一、课程基本信息

开课单位数学科学学院

课程名称中学数学解题研究

课程编号06101712

英文名称Mathematical Study of the Middle School

课程类型专业方向限选课

总 学 时34    理论学时:34  实验学时:0   课外学时:0

   分:2

开设专业:数学与应用数学

先修课程:无

二、课程任务目标

(一)课程任务

本课程可以使学生进一步掌握和深化中学数学的内容、思想和方法,既能够借用高等数学的基本知识和思想去深入探讨中学数学研究体系中的问题,又能够为数学教育方向的后继课程尤其是为学生将来从事中学数学教学工作奠定坚实的基础.

(二)课程目标

在学完本课程之后,学生能够:

1. 获得较高的数学素养,并能适应现代中学数学教师专业化知识的需要,胜任中学数学教学工作.

2. 能够用高等数学的基本知识和思想去深入探讨中学数学研究体系中的问题.

三、教学内容和要求

(一)理论教学的内容及要求

数与数系

§1.1 数系的历史发展

§1.2自然数系和0

§1.3从自然数系到整数环

§1.4有理数系

§1.5 实数系

§1.6戴德金分割与实数系德连续性

§1.7复数系

§1.8关于数系教学的建议

了解数系的发展历史以及伴随着的数学思想的重大变革,并从中获得关于中小学数系教学的有益建议.

式、代数式与不等式

§2.1 数学符号简史

§2.2数学符号语言——代数式

§2.3字母表示数

§2.4 解析式

§2.5绝对不等式的证明

§2.6条件不等式的求解

⑴深刻理解数学是一种符号语言;

⑵了解中学学习不等式的意义

⑶熟悉绝对不等式的证明和条件不等式的求解.

方程

§3.1 方程的历史发展及其科学价值

§3.2方程的定义

§3.3同解放程

§3.4 几种常见方程的变形

§3.5解方程的常用方法

§3.6一元三次、四次以及高次方程

§3.7 韦达定理、方程根的性质

§3.8不定方程与中国剩余定理

⑴了解方程的历史发展及其科学价值;

⑵掌握常见方程的变形,解方程的常用方法以及高次方程和不定方程的相关内容;

⑶熟悉韦达定理和中国剩余定理。

函数

§4.1 函数的发展及其科学价值

§4.2函数概念的三种定义

§4.3初等函数

§4.4函数的图象与特征

§4.5函数概念的教学

⑴了解函数的发展及其科学价值;

⑵深刻理解函数概念的三种定义;

⑶熟悉函数的图象与特征;

⑷了解中学数学里有关函数教学应注意的问题.

数列

§5.1 数列简史

§5.2中学数学里的数列及其求和

§5.3等差数列和等比数列

§5.4数列的差分与高阶等差数列

§5.5线性递归数列

§5.6数列应用举例

§5.7数列与数学归纳法

⑴了解数列简史;

⑵熟练掌握数列的差分、高阶等差数列、线性递归数列的相关内容;

⑶了解中学数学里关于数列教学应该注意的问题.

算法

§6.1算法概述

§6.2标准程序流程图的符号以及使用约定

§6.3算法举例

§6.4 算法设计的基本方法

§6.5可计算性与算法复杂性

§6.6 中学算法内容的教学分析

⑴了解中国古代数学中蕴含的丰富的算法思想;

⑵熟悉算法设计的基本方法;

⑶熟练掌握标准程序流程图的符号以及使用约定;

平面几何名题欣赏

§7.1 几个著名定理

§7.2几个著名不等式

掌握平面几何中的著名定理和著名不等式.

立体几何和平面解析几何研究与解题

§8.1立体几何例题求解与点评

§8.2解析几何例题求解与点评

熟悉立体几何和解析几何的有关内容.

球面几何学初步

§8.1 球面几何的有关概念

§8.2球面三角

§8.3球面坐标

§8.4球面几何与双曲几何

对球面几何的相关知识有一个初步的认识.

第十章  几何定理的机器证明

§10.1数学机械化与我国数学家取得的成就

§10.2吴文俊几何定理证明的机械化方法

§10.3张景中消点算法

⑴熟悉我国数学家在数学机械化方面取得的巨大成就;

⑵掌握吴文俊几何定理证明的机械化方法以及张景中消点算法.

(二)实践教学的内容及要求

立体图形、截面图形、投影图形的画法.

让学生了解这三种图形的画法,培养作图能力。

四、学时分配

(本项编写要求:按章节简要编写各教学环节的学时分配)

         

各教学环节学时分配

小计

讲授

实验

上机

习题

讨论

课外

 

第一章:数与数系

4

3